Страница 12 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Иррациональные неравенства

1. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3x - 10} > \sqrt{6 - x}$;

2) $\sqrt{4x^2 + 5x + 1} < x - 1$;

3) $\sqrt{x + 33} > x + 3$;

4) $(8 - 3x)\sqrt{x - 2} \leq 0$;

2. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство

$a\sqrt{x - 2} < 1$.

1. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3x - 10} > \sqrt{6 - x}$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренное выражение с меньшим значением неотрицательно, а другое подкоренное выражение больше него.

$\begin{cases} 3x - 10 > 6 - x \\ 6 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$3x + x > 10 + 6$

$4x > 16$

$x > 4$

Решим второе неравенство:

$6 \ge x$, или $x \le 6$

Найдем пересечение решений: $x > 4$ и $x \le 6$.

Таким образом, решение системы: $4 < x \le 6$.

Ответ: $(4, 6]$.

2) $\sqrt{4x^2 + 5x + 1} < x - 1$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}$

Получаем систему:

$\begin{cases} 4x^2 + 5x + 1 \ge 0 \\ x - 1 > 0 \\ 4x^2 + 5x + 1 < (x - 1)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. $4x^2 + 5x + 1 \ge 0$. Найдем корни уравнения $4x^2 + 5x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$.
$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{8}$, откуда $x_1 = -1$, $x_2 = -\frac{1}{4}$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [-\frac{1}{4}, \infty)$.

2. $x - 1 > 0 \implies x > 1$.

3. $4x^2 + 5x + 1 < (x - 1)^2$
$4x^2 + 5x + 1 < x^2 - 2x + 1$
$3x^2 + 7x < 0$
$x(3x + 7) < 0$
Корни: $x=0$ и $x=-\frac{7}{3}$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\frac{7}{3}, 0)$.

Теперь найдем пересечение всех трех решений:
$x \in ((-\infty, -1] \cup [-\frac{1}{4}, \infty)) \cap (1, \infty) \cap (-\frac{7}{3}, 0)$.
Пересечение интервалов $(1, \infty)$ и $(-\frac{7}{3}, 0)$ является пустым множеством. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

3) $\sqrt{x + 33} > x + 3$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ и 2) $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}$

Рассмотрим первую систему (случай, когда правая часть отрицательна):

$\begin{cases} x + 3 < 0 \\ x + 33 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3 \\ x \ge -33 \end{cases}$

Решение этой системы: $x \in [-33, -3)$.

Рассмотрим вторую систему (случай, когда правая часть неотрицательна):

$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ x + 33 > (x + 3)^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$x + 33 > x^2 + 6x + 9$

$x^2 + 5x - 24 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 24 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$.
$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2}$, откуда $x_1 = -8$, $x_2 = 3$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-8, 3)$.

Теперь решим вторую систему: $\begin{cases} x \ge -3 \\ x \in (-8, 3) \end{cases}$.

Пересечение этих условий дает $x \in [-3, 3)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений двух систем:

$[-33, -3) \cup [-3, 3) = [-33, 3)$.

Ответ: $[-33, 3)$.

4) $(8 - 3x)\sqrt{x - 2} \le 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Поскольку $\sqrt{x-2} \ge 0$ при всех $x$ из ОДЗ, неравенство выполняется в двух случаях:

1. Когда один из множителей равен нулю, и выражение определено.
Если $\sqrt{x-2} = 0$, то $x - 2 = 0 \implies x = 2$. При $x=2$ неравенство $0 \le 0$ верно.
Если $8 - 3x = 0$, то $3x = 8 \implies x = \frac{8}{3}$. Это значение входит в ОДЗ. При $x=\frac{8}{3}$ неравенство $0 \le 0$ верно.

2. Когда $\sqrt{x-2} > 0$ (т.е. $x > 2$), и второй множитель $8 - 3x < 0$.
$8 - 3x < 0 \implies 8 < 3x \implies x > \frac{8}{3}$.
Условие $x > \frac{8}{3}$ удовлетворяет условию $x>2$.

Объединим все найденные решения: точка $x=2$ и промежуток $x \ge \frac{8}{3}$ (который включает точку $x=\frac{8}{3}$ из первого случая и интервал $x > \frac{8}{3}$ из второго).

Ответ: $\{2\} \cup [\frac{8}{3}, +\infty)$.

2. Для каждого значения параметра a решите неравенство

$a\sqrt{x - 2} < 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Рассмотрим три случая для параметра $a$.

Случай 1: $a > 0$

Разделим обе части неравенства на положительное число $a$, знак неравенства не изменится:

$\sqrt{x - 2} < \frac{1}{a}$

Так как $a > 0$, то $\frac{1}{a} > 0$. Обе части неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат:

$x - 2 < (\frac{1}{a})^2$

$x < 2 + \frac{1}{a^2}$

Учитывая ОДЗ ($x \ge 2$), получаем решение для этого случая:

$2 \le x < 2 + \frac{1}{a^2}$

Случай 2: $a = 0$

Неравенство принимает вид:

$0 \cdot \sqrt{x - 2} < 1$

$0 < 1$

Это верное числовое неравенство. Следовательно, при $a=0$ решением является вся область допустимых значений $x$.

$x \ge 2$

Случай 3: $a < 0$

Левая часть неравенства $a\sqrt{x - 2}$ является произведением отрицательного числа $a$ и неотрицательного числа $\sqrt{x-2}$. Таким образом, $a\sqrt{x-2} \le 0$ для всех $x$ из ОДЗ.

Неравенство $a\sqrt{x-2} < 1$ сводится к сравнению неположительного числа с положительным числом 1. Любое неположительное число всегда меньше 1.

Следовательно, при $a<0$ неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ.

$x \ge 2$

Объединим результаты:

При $a \le 0$ (объединение случаев 2 и 3), решением является $x \in [2, +\infty)$.

При $a > 0$ (случай 1), решением является $x \in [2, 2 + \frac{1}{a^2})$.

Ответ: при $a \le 0$, $x \in [2, +\infty)$; при $a > 0$, $x \in [2, 2 + \frac{1}{a^2})$.

Самостоятельная работа № 18

Радианная мера угла

1. Найдите радианную меру угла, равного:

1) $18^{\circ}$;

2) $240^{\circ}$.

2. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

1) $\frac{\pi}{30}$;

2) $1\frac{3}{4}\pi$.

3. В какой координатной четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0(1;0)$ на угол:

1) $138^{\circ}$;

2) $\frac{\pi}{7}$;

3) $-\frac{11\pi}{6}$;

4) $-3$?

4. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0(0; 1)$, чтобы получить точку:

1) $P_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

2) $P_2\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

5. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0(1; 0)$ на углы:

1) $\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;

2) $\frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

1. Найдите радианную меру угла, равного:

Для перевода градусной меры угла в радианную используется формула: $\alpha_{рад} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$.

1) 18°;

Подставляем значение в формулу: $18^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{18\pi}{180} = \frac{\pi}{10}$ радиан.

Ответ: $\frac{\pi}{10}$.

2) 240°.

Подставляем значение в формулу: $240^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{240\pi}{180} = \frac{24\pi}{18} = \frac{4\pi}{3}$ радиан.

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.

2. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

Для перевода радианной меры угла в градусную используется формула: $\alpha_{град} = \alpha_{рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$.

1) $\frac{\pi}{30}$;

Подставляем значение в формулу: $\frac{\pi}{30} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{30} = 6^\circ$.

Ответ: $6^\circ$.

2) $1\frac{3}{4}\pi$.

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{3}{4}\pi = \frac{7}{4}\pi$.
Теперь подставляем значение в формулу: $\frac{7\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 7 \cdot \frac{180^\circ}{4} = 7 \cdot 45^\circ = 315^\circ$.

Ответ: $315^\circ$.

3. В какой координатной четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0(1;0)$ на угол:

Координатные четверти определяются следующим образом:
I четверть: от $0^\circ$ до $90^\circ$ (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$)
II четверть: от $90^\circ$ до $180^\circ$ (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$)
III четверть: от $180^\circ$ до $270^\circ$ (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$)
IV четверть: от $270^\circ$ до $360^\circ$ (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$)

1) 138°;

Поскольку $90^\circ < 138^\circ < 180^\circ$, точка находится во второй координатной четверти.

Ответ: II четверть.

2) $\frac{\pi}{7}$;

Сравним угол с границами четвертей: $0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$. Это верно, так как $\frac{1}{7} < \frac{1}{2}$. Следовательно, точка находится в первой координатной четверти.

Ответ: I четверть.

3) $-\frac{11\pi}{6}$;

Найдем наименьший положительный угол, соответствующий данной точке, прибавив $2\pi$ (полный оборот):
$-\frac{11\pi}{6} + 2\pi = -\frac{11\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
Поскольку $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$, точка находится в первой координатной четверти.

Ответ: I четверть.

4) -3?

Угол дан в радианах. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
Границы III четверти для отрицательных углов (движение по часовой стрелке): от $-\pi$ до $-\frac{\pi}{2}$.
$-\pi \approx -3,14$ и $-\frac{\pi}{2} \approx -1,57$.
Поскольку $-\pi < -3 < -\frac{\pi}{2}$ (то есть $-3,14 < -3 < -1,57$), точка находится в третьей координатной четверти.

Ответ: III четверть.

4. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0(0; 1)$, чтобы получить точку:

Начальная точка $P_0(0; 1)$ соответствует углу $\alpha_0 = \frac{\pi}{2}$ на единичной окружности (относительно стандартного начального положения $P(1;0)$). Чтобы найти угол поворота $\alpha$, нужно из угла конечной точки вычесть угол начальной точки и добавить целое число полных оборотов $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

1) $P_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

Конечная точка $P_1$ имеет координаты $(\cos \alpha_1, \sin \alpha_1) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, что соответствует углу $\alpha_1 = \frac{\pi}{4}$.
Угол поворота $\alpha = \alpha_1 - \alpha_0 + 2\pi k = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} + 2\pi k = \frac{\pi - 2\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $P_2\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Конечная точка $P_2$ имеет координаты $(\cos \alpha_2, \sin \alpha_2) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, что соответствует углу $\alpha_2 = \frac{2\pi}{3}$ (II четверть).
Угол поворота $\alpha = \alpha_2 - \alpha_0 + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2} + 2\pi k = \frac{4\pi - 3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0(1; 0)$ на углы:

Координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки $(1; 0)$ на угол $\alpha$, равны $(\cos \alpha, \sin \alpha)$.

1) $\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;

Так как $2\pi k$ представляет собой целое число полных оборотов, положение точки определяется углом $\alpha = \frac{\pi}{3}$.
$x = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$
$y = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Координаты точки: $\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Ответ: $\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

2) $\frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае положение точки зависит от целого числа $k$. Поскольку значения синуса и косинуса повторяются с периодом $2\pi$, мы получим 8 различных точек для $k$ от 0 до 7.
При $k=0$: угол $0$, точка $(\cos 0, \sin 0) = (1; 0)$.
При $k=1$: угол $\frac{\pi}{4}$, точка $\left(\cos\frac{\pi}{4}, \sin\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
При $k=2$: угол $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, точка $\left(\cos\frac{\pi}{2}, \sin\frac{\pi}{2}\right) = (0; 1)$.
При $k=3$: угол $\frac{3\pi}{4}$, точка $\left(\cos\frac{3\pi}{4}, \sin\frac{3\pi}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
При $k=4$: угол $\frac{4\pi}{4} = \pi$, точка $(\cos\pi, \sin\pi) = (-1; 0)$.
При $k=5$: угол $\frac{5\pi}{4}$, точка $\left(\cos\frac{5\pi}{4}, \sin\frac{5\pi}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
При $k=6$: угол $\frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$, точка $\left(\cos\frac{3\pi}{2}, \sin\frac{3\pi}{2}\right) = (0; -1)$.
При $k=7$: угол $\frac{7\pi}{4}$, точка $\left(\cos\frac{7\pi}{4}, \sin\frac{7\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
При $k=8$ точка совпадет с точкой для $k=0$.

Ответ: $(1; 0), \left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right), (0; 1), \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right), (-1; 0), \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right), (0; -1), \left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.