Страница 16 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 24

Основные соотношения между

тригонометрическими функциями одного

и того же аргумента

1. Упростите выражение:

1) $\sin^2 3\beta + \cos^2 3\beta - \frac{1}{\cos^2 4\alpha}$;

2) $\operatorname{tg} 3\alpha \operatorname{ctg} 3\alpha + \frac{\operatorname{tg}^2 \alpha}{4}$;

3) $\frac{1 + \operatorname{tg}^2 3\alpha (\sin^2 3\alpha - 1)}{\cos^2 3\alpha}$.

2. Вычислите значения тригонометрических функций угла $\alpha$, если $\sin \alpha = -\frac{2}{7}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $3\cos^2 \alpha - 4\sin^2 \alpha$;

2) $2\sin^2 \alpha + 3\operatorname{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha$.

4. Упростите выражение $\sqrt{\cos^2 \beta (1 + \operatorname{tg} \beta) + \sin^2 \beta (1 + \operatorname{ctg} \beta)}$, если $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$.

1. Упростите выражение:

1) Для упрощения выражения используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и тождество $ 1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} $.

$ \sin^2 3\beta + \cos^2 3\beta - \frac{1}{\cos^2 4\alpha} = 1 - \frac{1}{\cos^2 4\alpha} $.

Из второго тождества следует, что $ 1 - \frac{1}{\cos^2 4\alpha} = 1 - (1 + \text{tg}^2 4\alpha) = 1 - 1 - \text{tg}^2 4\alpha = -\text{tg}^2 4\alpha $.

Ответ: $ -\text{tg}^2 4\alpha $.

2) Используем тождество $ \text{tg}\,x \cdot \text{ctg}\,x = 1 $ и $ 1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} $.

$ \text{tg}\,3\alpha \cdot \text{ctg}\,3\alpha + \text{tg}^2 \frac{\alpha}{4} = 1 + \text{tg}^2 \frac{\alpha}{4} $.

Применяя второе тождество, получаем: $ 1 + \text{tg}^2 \frac{\alpha}{4} = \frac{1}{\cos^2 \frac{\alpha}{4}} $.

Ответ: $ \frac{1}{\cos^2 \frac{\alpha}{4}} $.

3) Преобразуем выражение в скобках, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, из которого следует $ \sin^2 x - 1 = -\cos^2 x $.

$ \frac{1 + \text{tg}^2 3\alpha (\sin^2 3\alpha - 1)}{\cos^2 3\alpha} = \frac{1 + \text{tg}^2 3\alpha (-\cos^2 3\alpha)}{\cos^2 3\alpha} $.

Так как $ \text{tg}^2 3\alpha = \frac{\sin^2 3\alpha}{\cos^2 3\alpha} $, то числитель принимает вид:

$ 1 + \frac{\sin^2 3\alpha}{\cos^2 3\alpha} (-\cos^2 3\alpha) = 1 - \sin^2 3\alpha = \cos^2 3\alpha $.

Тогда все выражение равно: $ \frac{\cos^2 3\alpha}{\cos^2 3\alpha} = 1 $.

Ответ: $ 1 $.

2. Вычислите значения тригонометрических функций угла $ \alpha $, если $ \sin \alpha = -\frac{2}{7} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Условие $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $ означает, что угол $ \alpha $ находится в III четверти. В этой четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

1. Найдем $ \cos \alpha $, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:

$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{2}{7}\right)^2 = 1 - \frac{4}{49} = \frac{45}{49} $.

Поскольку $ \alpha $ в III четверти, $ \cos \alpha < 0 $, поэтому $ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{45}{49}} = -\frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{7} = -\frac{3\sqrt{5}}{7} $.

2. Найдем $ \text{tg}\,\alpha $:

$ \text{tg}\,\alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-2/7}{-3\sqrt{5}/7} = \frac{2}{3\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{15} $.

3. Найдем $ \text{ctg}\,\alpha $:

$ \text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{\text{tg}\,\alpha} = \frac{15}{2\sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{10} = \frac{3\sqrt{5}}{2} $.

Ответ: $ \cos \alpha = -\frac{3\sqrt{5}}{7} $, $ \text{tg}\,\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{15} $, $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{3\sqrt{5}}{2} $.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $ 3\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha $

Выразим $ \cos^2\alpha $ через $ \sin^2\alpha $ с помощью тождества $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $:

$ 3(1 - \sin^2\alpha) - 4\sin^2\alpha = 3 - 3\sin^2\alpha - 4\sin^2\alpha = 3 - 7\sin^2\alpha $.

Значения $ \sin^2\alpha $ лежат в отрезке $ [0, 1] $.

Наибольшее значение выражения достигается при наименьшем значении $ \sin^2\alpha $, то есть при $ \sin^2\alpha = 0 $: $ 3 - 7 \cdot 0 = 3 $.

Наименьшее значение выражения достигается при наибольшем значении $ \sin^2\alpha $, то есть при $ \sin^2\alpha = 1 $: $ 3 - 7 \cdot 1 = -4 $.

Ответ: Наибольшее значение: 3, наименьшее значение: -4.

2) $ 2\sin^2\alpha + 3\text{ctg}^2\alpha \sin^2\alpha $

Упростим выражение, используя определение котангенса $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $:

$ 2\sin^2\alpha + 3 \left(\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right) \sin^2\alpha = 2\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha $.

Выразим $ \cos^2\alpha $ через $ \sin^2\alpha $:

$ 2\sin^2\alpha + 3(1 - \sin^2\alpha) = 2\sin^2\alpha + 3 - 3\sin^2\alpha = 3 - \sin^2\alpha $.

Значения $ \sin^2\alpha $ лежат в отрезке $ [0, 1] $.

Наибольшее значение выражения достигается при наименьшем значении $ \sin^2\alpha $, то есть при $ \sin^2\alpha = 0 $: $ 3 - 0 = 3 $.

Наименьшее значение выражения достигается при наибольшем значении $ \sin^2\alpha $, то есть при $ \sin^2\alpha = 1 $: $ 3 - 1 = 2 $.

Ответ: Наибольшее значение: 3, наименьшее значение: 2.

4. Упростите выражение $ \sqrt{\cos^2\beta(1 + \text{tg}\,\beta) + \sin^2\beta(1 + \text{ctg}\,\beta)} $, если $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $.

Сначала упростим выражение под корнем. Раскроем скобки:

$ \cos^2\beta(1 + \text{tg}\,\beta) + \sin^2\beta(1 + \text{ctg}\,\beta) = \cos^2\beta + \cos^2\beta \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} + \sin^2\beta + \sin^2\beta \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta} $.

После сокращения получим:

$ \cos^2\beta + \cos\beta\sin\beta + \sin^2\beta + \sin\beta\cos\beta $.

Сгруппируем слагаемые:

$ (\sin^2\beta + \cos^2\beta) + 2\sin\beta\cos\beta $.

Используя тождество $ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 $, получаем $ 1 + 2\sin\beta\cos\beta $. Это выражение является квадратом суммы: $ (\sin\beta + \cos\beta)^2 $.

Таким образом, исходное выражение равно $ \sqrt{(\sin\beta + \cos\beta)^2} = |\sin\beta + \cos\beta| $.

По условию $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $, что соответствует III четверти. В этой четверти и $ \sin\beta $, и $ \cos\beta $ отрицательны. Сумма двух отрицательных чисел также отрицательна, то есть $ \sin\beta + \cos\beta < 0 $.

По определению модуля, $ |\sin\beta + \cos\beta| = -(\sin\beta + \cos\beta) $.

Ответ: $ -\sin\beta - \cos\beta $.