Страница 20 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 31

Уравнения $tg x = b$ и $ctg x = b$

1. Решите уравнение:

1) $tg(\frac{\pi}{6} - 4x) = 1;$

2) $3tg(8x - \frac{\pi}{4}) - 1 = 0;$

3) $2ctg(2x - \frac{\pi}{6}) - 4 = 0.$

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения $tg(4x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$

3. Сколько решений уравнения $ctg3x = -1$ принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$?

4. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $\frac{ctg x - a}{cos x - \frac{1}{2}} = 0$ на промежутке $(0; \pi)$?

1)

Решим уравнение $ \text{tg}(\frac{\pi}{6} - 4x) = 1 $.

Аргумент тангенса равен арктангенсу от 1 плюс период тангенса $ \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $:

$ \frac{\pi}{6} - 4x = \text{arctg}(1) + \pi n $

$ \frac{\pi}{6} - 4x = \frac{\pi}{4} + \pi n $

Выразим $ x $:

$ -4x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi n $

$ -4x = \frac{3\pi - 2\pi}{12} + \pi n $

$ -4x = \frac{\pi}{12} + \pi n $

$ x = -\frac{\pi}{48} - \frac{\pi n}{4} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{48} - \frac{\pi n}{4} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

2)

Решим уравнение $ 3\text{tg}(8x - \frac{\pi}{4}) - 1 = 0 $.

Преобразуем уравнение:

$ 3\text{tg}(8x - \frac{\pi}{4}) = 1 $

$ \text{tg}(8x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{3} $

Аргумент тангенса равен арктангенсу от $ \frac{1}{3} $ плюс период тангенса $ \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $:

$ 8x - \frac{\pi}{4} = \text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi n $

Выразим $ x $:

$ 8x = \frac{\pi}{4} + \text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi n $

$ x = \frac{\pi}{32} + \frac{1}{8}\text{arctg}(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{8} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{32} + \frac{1}{8}\text{arctg}(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{8} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

3)

Решим уравнение $ 2\text{ctg}(2x - \frac{\pi}{6}) - 4 = 0 $.

Преобразуем уравнение:

$ 2\text{ctg}(2x - \frac{\pi}{6}) = 4 $

$ \text{ctg}(2x - \frac{\pi}{6}) = 2 $

Аргумент котангенса равен арккотангенсу от 2 плюс период котангенса $ \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $:

$ 2x - \frac{\pi}{6} = \text{arcctg}(2) + \pi n $

Выразим $ x $:

$ 2x = \frac{\pi}{6} + \text{arcctg}(2) + \pi n $

$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}\text{arcctg}(2) + \frac{\pi n}{2} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}\text{arcctg}(2) + \frac{\pi n}{2} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

2.

Найдем общее решение уравнения $ \text{tg}(4x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

Общее решение уравнения $ \text{tg}(y) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $ имеет вид $ y = -\frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ 4x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + \pi n $

Выразим $ x $:

$ 4x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \pi n $

$ 4x = -\frac{2\pi + 3\pi}{12} + \pi n $

$ 4x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n $

$ x = -\frac{5\pi}{48} + \frac{\pi n}{4} $

Нам нужно найти наименьший положительный корень, то есть найти наименьшее целое $ n $, при котором $ x > 0 $.

$ -\frac{5\pi}{48} + \frac{\pi n}{4} > 0 $

$ \frac{\pi n}{4} > \frac{5\pi}{48} $

$ \frac{n}{4} > \frac{5}{48} $

$ n > \frac{20}{48} $

$ n > \frac{5}{12} $

Наименьшее целое $ n $, удовлетворяющее этому неравенству, это $ n = 1 $.

Подставим $ n=1 $ в формулу для $ x $:

$ x = -\frac{5\pi}{48} + \frac{\pi \cdot 1}{4} = -\frac{5\pi}{48} + \frac{12\pi}{48} = \frac{7\pi}{48} $.

Ответ: $ \frac{7\pi}{48} $.

3.

Сначала найдем общее решение уравнения $ \text{ctg}3x = -1 $.

$ 3x = \text{arcctg}(-1) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ 3x = \frac{3\pi}{4} + \pi n $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3} $

Теперь определим, сколько из этих решений принадлежат промежутку $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:

$ -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3} \le \frac{\pi}{2} $

Разделим все части неравенства на $ \pi $:

$ -\frac{1}{2} \le \frac{1}{4} + \frac{n}{3} \le \frac{1}{2} $

Вычтем $ \frac{1}{4} $ из всех частей:

$ -\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \le \frac{n}{3} \le \frac{1}{2} - \frac{1}{4} $

$ -\frac{3}{4} \le \frac{n}{3} \le \frac{1}{4} $

Умножим все части на 3:

$ -\frac{9}{4} \le n \le \frac{3}{4} $

$ -2.25 \le n \le 0.75 $

Так как $ n $ должно быть целым числом, возможные значения для $ n $ это $ -2, -1, 0 $.

Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет 3 решения.

Ответ: 3.

4.

Рассмотрим уравнение $ \frac{\text{ctg}x - a}{\text{cos}x - \frac{1}{2}} = 0 $ на промежутке $ (0; \pi) $.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Также необходимо учесть область определения котангенса.

Это приводит к системе условий:

$ \begin{cases} \text{ctg}x - a = 0 \\ \text{cos}x - \frac{1}{2} \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \\ x \in (0; \pi) \end{cases} $

Разберем условия:

1. Из первого уравнения получаем $ \text{ctg}x = a $.

2. Условие $ \text{cos}x \neq \frac{1}{2} $ на промежутке $ (0; \pi) $ означает, что $ x \neq \frac{\pi}{3} $.

3. Условие $ \sin x \neq 0 $ для области определения котангенса на промежутке $ (0; \pi) $ выполняется всегда.

Таким образом, задача сводится к нахождению числа решений уравнения $ \text{ctg}x = a $ на множестве $ (0; \frac{\pi}{3}) \cup (\frac{\pi}{3}; \pi) $.

Функция $ y = \text{ctg}x $ на промежутке $ (0; \pi) $ является строго убывающей, и ее область значений — все действительные числа $ (-\infty; +\infty) $. Это означает, что для любого действительного значения параметра $ a $ уравнение $ \text{ctg}x = a $ имеет ровно один корень $ x_0 $ на промежутке $ (0; \pi) $.

Теперь нужно проверить, когда этот корень $ x_0 $ совпадает со значением $ x = \frac{\pi}{3} $, которое исключено из области допустимых значений.

Найдем значение $ a $, при котором корень равен $ \frac{\pi}{3} $:

$ a = \text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Следовательно:

• Если $ a = \frac{\sqrt{3}}{3} $, то единственный корень уравнения $ \text{ctg}x = a $ на $ (0; \pi) $ это $ x = \frac{\pi}{3} $. Но это значение не является решением исходного уравнения, так как при нем знаменатель обращается в ноль. В этом случае корней нет.
• Если $ a \neq \frac{\sqrt{3}}{3} $, то единственный корень уравнения $ \text{ctg}x = a $ на $ (0; \pi) $ не равен $ \frac{\pi}{3} $ и, следовательно, является корнем исходного уравнения. В этом случае есть один корень.

Ответ: если $ a = \frac{\sqrt{3}}{3} $, то корней нет; если $ a \neq \frac{\sqrt{3}}{3} $, то один корень.

Самостоятельная работа № 32

Функции $y = \arccos x, y = \arcsin x, y = \text{arctg } x \text{ и } y = \text{arcctg } x$

1. Вычислите:

1) $\cos \left( 2\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$;

2) $\sin \left( \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\text{arctg } 1 \right)$;

3) $\text{tg}(\text{arctg } 5)$.

2. Найдите область определения функции $y = \arccos(x^2 - 8)$.

3. Найдите область значений функции:

1) $y = 4\arcsin x + \frac{\pi}{3}$;

2) $y = 2 - 5\text{arcctg } 3x$.

4. Вычислите:

1) $\cos \left( \arcsin \frac{4}{7} \right)$;

2) $\sin(\text{arctg } 8)$;

3) $\sin \left( 2\arcsin \frac{2}{3} \right)$;

4) $\arccos(\cos 5)$.

1. Вычислите:

1) Для вычисления $\cos(2\arccos\frac{\sqrt{3}}{2})$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$.
Пусть $\alpha = \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставим это в формулу:
$\cos(2\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\cos^2(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}) - 1 = 2(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{3}{4} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Для вычисления $\sin(\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\arctan 1)$ сначала найдем значения аркфункций:
$\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$
$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\sin(\frac{\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{4})$.
По формуле приведения $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3) По определению арктангенса, $\tan(\arctan x) = x$ для любого действительного числа $x$.
Следовательно, $\tan(\arctan 5) = 5$.
Ответ: 5.

2. Найдите область определения функции $y = \arccos(x^2 - 8)$.
Область определения функции $y = \arccos(u)$ задается неравенством $-1 \le u \le 1$.
В нашем случае $u = x^2 - 8$, поэтому мы должны решить неравенство:
$-1 \le x^2 - 8 \le 1$
Прибавим 8 ко всем частям неравенства:
$7 \le x^2 \le 9$
Это двойное неравенство эквивалентно системе:
$\begin{cases} x^2 \ge 7 \\ x^2 \le 9 \end{cases}$
Решением первого неравенства является $x \in (-\infty, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty)$.
Решением второго неравенства является $x \in [-3, 3]$.
Пересечение этих множеств дает область определения исходной функции:
$x \in [-3, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, 3]$.
Ответ: $D(y) = [-3, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, 3]$.

3. Найдите область значений функции:

1) $y = 4\arcsin x + \frac{\pi}{3}$
Область значений функции $\arcsin x$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$
Умножим неравенство на 4:
$-2\pi \le 4\arcsin x \le 2\pi$
Прибавим $\frac{\pi}{3}$:
$-2\pi + \frac{\pi}{3} \le 4\arcsin x + \frac{\pi}{3} \le 2\pi + \frac{\pi}{3}$
$-\frac{5\pi}{3} \le y \le \frac{7\pi}{3}$
Ответ: $E(y) = [-\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}]$.

2) $y = 2 - 5\arcctg 3x$
Область значений функции $\arcctg u$ — это интервал $(0, \pi)$.
$0 < \arcctg 3x < \pi$
Умножим неравенство на -5, изменив знаки неравенства на противоположные:
$0 > -5\arcctg 3x > -5\pi$
Запишем в стандартном виде: $-5\pi < -5\arcctg 3x < 0$
Прибавим 2:
$2 - 5\pi < 2 - 5\arcctg 3x < 2$
$2 - 5\pi < y < 2$
Ответ: $E(y) = (2 - 5\pi, 2)$.

4. Вычислите:

1) $\cos(\arcsin\frac{4}{7})$
Пусть $\alpha = \arcsin\frac{4}{7}$. Тогда $\sin\alpha = \frac{4}{7}$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Так как $\sin\alpha > 0$, то $\alpha$ находится в первой четверти, где $\cos\alpha \ge 0$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{4}{7})^2 = 1 - \frac{16}{49} = \frac{33}{49}$.
$\cos\alpha = \sqrt{\frac{33}{49}} = \frac{\sqrt{33}}{7}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{33}}{7}$.

2) $\sin(\arctan 8)$
Пусть $\alpha = \arctan 8$. Тогда $\tan\alpha = 8$ и $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Так как $\tan\alpha > 0$, то $\alpha$ находится в первой четверти.
Используем тождество $1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$. Так как $\tan\alpha = 8$, то $\cot\alpha = \frac{1}{8}$.
$\frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + (\frac{1}{8})^2 = 1 + \frac{1}{64} = \frac{65}{64}$.
$\sin^2\alpha = \frac{64}{65}$.
Поскольку $\alpha$ в первой четверти, $\sin\alpha > 0$, следовательно $\sin\alpha = \sqrt{\frac{64}{65}} = \frac{8}{\sqrt{65}}$.
Ответ: $\frac{8}{\sqrt{65}}$.

3) $\sin(2\arcsin\frac{2}{3})$
Пусть $\alpha = \arcsin\frac{2}{3}$. Тогда $\sin\alpha = \frac{2}{3}$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Нам нужно найти $\sin(2\alpha)$. Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Найдем $\cos\alpha$. Так как $\sin\alpha > 0$, $\alpha$ находится в первой четверти, где $\cos\alpha \ge 0$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
$\cos\alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{9}$.
Ответ: $\frac{4\sqrt{5}}{9}$.

4) $\arccos(\cos 5)$
По определению, $\arccos(\cos x) = x$ только при условии, что $x \in [0, \pi]$.
Число 5 не принадлежит этому отрезку, так как $\pi \approx 3.14$.
Мы должны найти такое число $\alpha \in [0, \pi]$, для которого $\cos\alpha = \cos 5$.
Используем свойство четности косинуса $\cos x = \cos(-x)$ и его периодичность $\cos x = \cos(x + 2\pi k)$ для целого $k$.
Искомое число $\alpha$ должно иметь вид $-5 + 2\pi k$ или $5 + 2\pi k$.
Найдем такое целое $k$, чтобы $-5 + 2\pi k$ попало в отрезок $[0, \pi]$.
$0 \le -5 + 2\pi k \le \pi$
$5 \le 2\pi k \le 5 + \pi$
$\frac{5}{2\pi} \le k \le \frac{5+\pi}{2\pi}$
Приблизительно: $0.79 \le k \le 1.29$. Единственное целое $k$ в этом промежутке - это $k=1$.
Тогда $\alpha = -5 + 2\pi \cdot 1 = 2\pi - 5$. Это значение принадлежит отрезку $[0, \pi]$.
Ответ: $2\pi - 5$.