Страница 27 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 44

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = 1 - 3x^2 - x^3$, $[-1; 2];$

2) $f(x) = \sqrt{8 + 2x - x^2}$, $[-1; 2];$

3) $f(x) = x^2 - 6|x| + 5$, $[-1; 4].$

2. В полукруг радиуса $\sqrt{5}$ см вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

1.

1) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 1 - 3x^2 - x^3$ на отрезке $[-1; 2]$.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (1 - 3x^2 - x^3)' = -6x - 3x^2$.
2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$-6x - 3x^2 = 0$
$-3x(2 + x) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$.
3. Определим, какие из критических точек принадлежат отрезку $[-1; 2]$.
$x_1 = 0 \in [-1; 2]$.
$x_2 = -2 \notin [-1; 2]$.
4. Вычислим значения функции в критической точке, принадлежащей отрезку, и на концах отрезка:
$f(-1) = 1 - 3(-1)^2 - (-1)^3 = 1 - 3 + 1 = -1$.
$f(0) = 1 - 3(0)^2 - (0)^3 = 1$.
$f(2) = 1 - 3(2)^2 - (2)^3 = 1 - 12 - 8 = -19$.
5. Сравним полученные значения. Наибольшее значение равно 1, а наименьшее равно -19.
Ответ: наибольшее значение функции $f(0) = 1$, наименьшее значение функции $f(2) = -19$.

2) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt{8 + 2x - x^2}$ на отрезке $[-1; 2]$.
1. Найдем область определения функции: $8 + 2x - x^2 \ge 0$, или $x^2 - 2x - 8 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ равны $x_1 = -2, x_2 = 4$. Таким образом, область определения функции - отрезок $[-2; 4]$. Данный отрезок $[-1; 2]$ входит в область определения.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sqrt{8 + 2x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{8 + 2x - x^2}} \cdot (8 + 2x - x^2)' = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{8 + 2x - x^2}} = \frac{1 - x}{\sqrt{8 + 2x - x^2}}$.
3. Найдем критические точки. Производная равна нулю, если $1 - x = 0$, то есть $x = 1$. Производная не определена в точках $x = -2$ и $x = 4$, но они являются концами области определения.
4. Точка $x=1$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$.
5. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$f(-1) = \sqrt{8 + 2(-1) - (-1)^2} = \sqrt{8 - 2 - 1} = \sqrt{5}$.
$f(1) = \sqrt{8 + 2(1) - 1^2} = \sqrt{8 + 2 - 1} = \sqrt{9} = 3$.
$f(2) = \sqrt{8 + 2(2) - 2^2} = \sqrt{8 + 4 - 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
6. Сравним полученные значения: $\sqrt{5} \approx 2.24$, $3$, $2\sqrt{2} \approx 2.83$.
Наибольшее значение - 3, наименьшее - $\sqrt{5}$.
Ответ: наибольшее значение функции $f(1) = 3$, наименьшее значение функции $f(-1) = \sqrt{5}$.

3) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^2 - 6|x| + 5$ на отрезке $[-1; 4]$.
1. Так как $x^2 = |x|^2$, функцию можно записать в виде $f(x) = |x|^2 - 6|x| + 5$. Это четная функция.
2. Сделаем замену $t = |x|$. Когда $x$ изменяется на отрезке $[-1; 4]$, переменная $t$ изменяется на отрезке $[0; 4]$.
3. Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $g(t) = t^2 - 6t + 5$ на отрезке $[0; 4]$.
4. Найдем производную функции $g(t)$:
$g'(t) = 2t - 6$.
5. Найдем критическую точку: $2t - 6 = 0 \Rightarrow t = 3$.
6. Точка $t = 3$ принадлежит отрезку $[0; 4]$.
7. Вычислим значения функции $g(t)$ в критической точке и на концах отрезка:
$g(0) = 0^2 - 6(0) + 5 = 5$.
$g(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.
$g(4) = 4^2 - 6(4) + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$.
8. Сравнивая значения $5, -4, -3$, находим, что наибольшее значение равно 5, а наименьшее равно -4.
Ответ: наибольшее значение функции $f(0) = 5$, наименьшее значение функции $f(3) = f(-3) = -4$.

2.

Пусть полукруг радиуса $R = \sqrt{5}$ см расположен в верхней полуплоскости с центром в начале координат. Его уравнение $y = \sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{5 - x^2}$.
Пусть одна сторона прямоугольника лежит на диаметре полукруга (оси Ox). Тогда вершины прямоугольника будут иметь координаты $(-x, 0), (x, 0), (x, y), (-x, y)$, где $0 < x < \sqrt{5}$ и $y = \sqrt{5 - x^2}$.
Длины сторон прямоугольника равны $2x$ и $y = \sqrt{5-x^2}$.
Периметр прямоугольника $P$ как функция от $x$ равен:
$P(x) = 2(2x + y) = 4x + 2\sqrt{5-x^2}$.
Нам нужно найти максимум этой функции на отрезке $[0; \sqrt{5}]$.
1. Найдем производную функции периметра:
$P'(x) = (4x + 2\sqrt{5-x^2})' = 4 + 2 \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{5-x^2}} = 4 - \frac{2x}{\sqrt{5-x^2}}$.
2. Найдем критические точки, решив уравнение $P'(x) = 0$:
$4 - \frac{2x}{\sqrt{5-x^2}} = 0$
$4 = \frac{2x}{\sqrt{5-x^2}}$
$2\sqrt{5-x^2} = x$
Возведем обе части в квадрат:
$4(5-x^2) = x^2$
$20 - 4x^2 = x^2$
$20 = 5x^2$
$x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ (так как $x>0$).
3. Точка $x=2$ принадлежит отрезку $[0; \sqrt{5}]$.
4. Вычислим значения периметра на концах отрезка и в критической точке:
$P(0) = 4(0) + 2\sqrt{5-0^2} = 2\sqrt{5}$.
$P(\sqrt{5}) = 4\sqrt{5} + 2\sqrt{5-(\sqrt{5})^2} = 4\sqrt{5}$.
$P(2) = 4(2) + 2\sqrt{5-2^2} = 8 + 2\sqrt{1} = 10$.
5. Сравним значения: $2\sqrt{5} \approx 4.47$, $4\sqrt{5} \approx 8.94$, $10$. Наибольшее значение периметра равно 10 при $x=2$.
6. Найдем стороны прямоугольника:
Одна сторона: $2x = 2 \cdot 2 = 4$ см.
Другая сторона: $y = \sqrt{5-x^2} = \sqrt{5-2^2} = \sqrt{1} = 1$ см.
Ответ: стороны прямоугольника равны 4 см и 1 см.