Страница 32 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 7

Обратная функция

1. Какие из функций являются обратимыми:

1) $y = 2x + 3;$

2) $y = x^2, D(y) = [-3; 3];$

3) $y = x^2, D(y) = (-\infty; -1]?$

2. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 5 - 4x;$

2) $y = 2 - \sqrt{x - 3}.$

3. С помощью графика функции $f$, изображённого на рисунке 9, постройте график функции $g$, обратной к функции $f$.

4. Функция $g$ является обратной к функции $f(x) = x^5 + x + 32$. Решите уравнение $f(x) = g(x)$.

Рис. 9

1. Какие из функций являются обратимыми:

Функция является обратимой тогда и только тогда, когда она строго монотонна на всей своей области определения (то есть либо строго возрастает, либо строго убывает). Проверим каждую функцию:

1) $y = 2x + 3$
Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом $k=2$. Она является строго возрастающей на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Следовательно, эта функция обратима.

2) $y = x^2$, $D(y) = [-3; 3]$
Это квадратичная функция, график которой — парабола. На заданном интервале $[-3; 3]$, который включает в себя вершину параболы в точке $x=0$, функция не является монотонной. Она убывает на отрезке $[-3; 0]$ и возрастает на отрезке $[0; 3]$. Поскольку нет строгой монотонности на всей области определения, функция не является обратимой. Например, $f(-2) = (-2)^2 = 4$ и $f(2) = 2^2 = 4$.

3) $y = x^2$, $D(y) = (-\infty; -1]$
На этой области определения, которая является частью левой ветви параболы (вершина в точке $x=0$ не входит в интервал), функция $y = x^2$ является строго убывающей. Поскольку функция строго монотонна на своей области определения, она обратима.

Ответ: Обратимыми являются функции 1) и 3).

2. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 5 - 4x$

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = 5 - 4x$:

$4x = 5 - y$

$x = \frac{5 - y}{4}$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы записать обратную функцию в стандартном виде:

$y = \frac{5 - x}{4}$

Ответ: $y = \frac{5 - x}{4}$.

2) $y = 2 - \sqrt{x - 3}$

Сначала определим область определения и область значений исходной функции.

Область определения $D(y)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x - 3 \ge 0$, следовательно, $x \ge 3$. $D(y) = [3; +\infty)$.

Область значений $E(y)$: поскольку $\sqrt{x-3} \ge 0$, то $-\sqrt{x-3} \le 0$, и $y = 2 - \sqrt{x-3} \le 2$. $E(y) = (-\infty; 2]$.

Теперь выразим $x$ через $y$ из исходного уравнения:

$y = 2 - \sqrt{x - 3}$

$\sqrt{x - 3} = 2 - y$

Возведём обе части в квадрат (учитывая, что $2 - y \ge 0$, что совпадает с областью значений):

$x - 3 = (2 - y)^2$

$x = (2 - y)^2 + 3$

Поменяем местами $x$ и $y$ для получения обратной функции:

$y = (2 - x)^2 + 3$

Областью определения обратной функции является область значений исходной функции, то есть $x \in (-\infty; 2]$.

Ответ: $y = (2 - x)^2 + 3$, при $x \le 2$.

3. С помощью графика функции f, изображённого на рисунке 9, постройте график функции g, обратной к функции f.

График обратной функции $g(x)$ симметричен графику исходной функции $f(x)$ относительно прямой $y = x$. Чтобы построить график $g(x)$, нужно:

1. Провести прямую $y = x$ на той же координатной плоскости.
2. Выбрать несколько ключевых точек на графике $f(x)$. По графику можно определить точки $A(-3, 1)$ и $B(1, 2)$.
3. Для каждой точки $(a, b)$ с графика $f(x)$ найти соответствующую точку $(b, a)$ для графика $g(x)$. Так, точкам $A(-3, 1)$ и $B(1, 2)$ будут соответствовать точки $A'(1, -3)$ и $B'(2, 1)$.
4. Построить найденные точки ($A'$, $B'$ и т.д.) и соединить их плавной кривой. Эта кривая и будет графиком функции $g(x)$.

Полученный график $g(x)$ является отражением графика $f(x)$ через прямую $y=x$.

Ответ: Построение графика функции $g$ заключается в симметричном отражении графика функции $f$ относительно прямой $y=x$, как описано выше.

4. Функция g является обратной к функции $f(x) = x^5 + x + 32$. Решите уравнение $f(x) = g(x)$.

Если функция $f(x)$ строго монотонна, то точки пересечения её графика с графиком обратной функции $g(x) = f^{-1}(x)$ лежат на прямой $y=x$. В этих точках выполняется условие $f(x) = x$.

Проверим функцию $f(x) = x^5 + x + 32$ на монотонность. Найдём её производную:

$f'(x) = (x^5 + x + 32)' = 5x^4 + 1$

Так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $f'(x) = 5x^4 + 1 \ge 1$. Поскольку производная всегда положительна, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Следовательно, уравнение $f(x) = g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = x$. Решим его:

$x^5 + x + 32 = x$

$x^5 + 32 = 0$

$x^5 = -32$

$x = \sqrt[5]{-32}$

$x = -2$

Ответ: $x = -2$.

Самостоятельная работа № 8

Метод интервалов

1. Решите неравенство:

1) $(x^2 + 7x)(x^2 - 25) \le 0;$

2) $(x + 4)^2(x^2 + 8x + 12) < 0;$

3) $\frac{x^2 + 5x}{x - 1} \ge \frac{14}{x - 1};$

4) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} \le 0.$

2. Найдите множество решений неравенства $(x - 2)(x - a)^2 \ge 0$ в зависимости от значения параметра $a.$

1. Решите неравенство:

1) $(x^2 + 7x)(x^2 - 25) \le 0$

Разложим на множители левую часть неравенства:
$x(x + 7)(x - 5)(x + 5) \le 0$
Найдём корни уравнения $x(x + 7)(x - 5)(x + 5) = 0$. Корни: $x_1 = -7$, $x_2 = -5$, $x_3 = 0$, $x_4 = 5$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое, все точки будут закрашенными.
Определим знаки выражения на каждом из полученных интервалов.

Выбираем интервалы со знаком "минус", так как неравенство имеет вид $f(x) \le 0$.
Ответ: $x \in [-7, -5] \cup [0, 5]$.

2) $(x + 4)^2(x^2 + 8x + 12) < 0$

Разложим на множители квадратный трёхчлен $x^2 + 8x + 12$. Его корни по теореме Виета $x_1 = -6$ и $x_2 = -2$.
Получаем неравенство: $(x + 4)^2(x + 6)(x + 2) < 0$.
Корни левой части: $x_1 = -6$ (кратность 1), $x_2 = -4$ (кратность 2), $x_3 = -2$ (кратность 1).
Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.
При переходе через корень чётной кратности ($x=-4$) знак выражения не меняется.

Выбираем интервалы со знаком "минус", так как неравенство имеет вид $f(x) < 0$.
Ответ: $x \in (-6, -4) \cup (-4, -2)$.

3) $\frac{x^2 + 5x}{x - 1} \ge \frac{14}{x-1}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.
Перенесём все члены в левую часть и приведём к общему знаменателю:
$\frac{x^2 + 5x}{x - 1} - \frac{14}{x - 1} \ge 0$
$\frac{x^2 + 5x - 14}{x - 1} \ge 0$
Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$ равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.
$\frac{(x + 7)(x - 2)}{x - 1} \ge 0$
Найдём нули числителя ($x=-7, x=2$) и нули знаменателя ($x=1$).
Отметим эти точки на числовой прямой. Нули числителя будут закрашенными, а нуль знаменателя — выколотым.

Выбираем интервалы со знаком "плюс", так как неравенство имеет вид $f(x) \ge 0$.
Ответ: $x \in [-7, 1) \cup [2, +\infty)$.

4) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} \le 0$

Найдём область допустимых значений (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$x^2 + 8x + 7 \ge 0$
Корни уравнения $x^2 + 8x + 7 = 0$ равны $x_1 = -7$ и $x_2 = -1$.
Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, -7] \cup [-1, +\infty)$.
Неравенство выполняется в двух случаях:
1. Произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю (и при этом $x$ входит в ОДЗ).
$\sqrt{x^2 + 8x + 7} = 0 \Rightarrow x^2 + 8x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7, x = -1$. Оба значения входят в ОДЗ.
$x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 1, x = 3$. Оба значения входят в ОДЗ, так как $1 \in [-1, +\infty)$ и $3 \in [-1, +\infty)$.
Таким образом, числа $\{-7, -1, 1, 3\}$ являются решениями.
2. Произведение строго меньше нуля.
Так как $\sqrt{x^2 + 8x + 7}$ всегда положителен (случай равенства нулю мы рассмотрели), для выполнения неравенства необходимо, чтобы первый множитель был отрицателен:
$x^2 - 4x + 3 < 0$
$(x-1)(x-3) < 0 \Rightarrow 1 < x < 3$.
Теперь необходимо пересечь это решение с ОДЗ: $(1, 3) \cap ((-\infty, -7] \cup [-1, +\infty))$.
Пересечением является сам интервал $(1, 3)$.
Объединяем решения из обоих случаев: $\{ -7, -1, 1, 3 \} \cup (1, 3)$.
Ответ: $x \in \{-7, -1\} \cup [1, 3]$.

2. Найдите множество решений неравенства $(x-2)(x-a)^2 \ge 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Выражение $(x-a)^2$ всегда неотрицательно, т.е. $(x-a)^2 \ge 0$ при любом $x$.
Рассмотрим два случая:
1. $(x-a)^2 = 0$, то есть $x=a$. В этом случае неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что является верным. Следовательно, $x=a$ всегда является решением.
2. $(x-a)^2 > 0$, то есть $x \ne a$. В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $(x-a)^2$, не меняя знака неравенства:
$x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$.
Итак, множество решений состоит из точки $x=a$ и луча $x \ge 2$ (с возможным исключением точки $x=a$, если она не попадает в этот луч, но мы ее добавляем из первого случая).
Общее множество решений: $\{a\} \cup [2, +\infty)$.
Теперь проанализируем это множество в зависимости от значения параметра $a$:
• Если $a \ge 2$, то точка $a$ уже принадлежит промежутку $[2, +\infty)$. В этом случае объединение множеств даёт сам промежуток.
• Если $a < 2$, то точка $a$ не принадлежит промежутку $[2, +\infty)$. В этом случае множество решений состоит из изолированной точки $a$ и промежутка $[2, +\infty)$.
Ответ:
Если $a < 2$, то $x \in \{a\} \cup [2, +\infty)$;
Если $a \ge 2$, то $x \in [2, +\infty)$.

Самостоятельная работа № 9
Степенная функция с натуральным показателем

1. Функция задана формулой $g(x) = x^{12}$. Сравните:

1) $g(5,8)$ и $g(4,9)$;

2) $g(-12,3)$ и $g(-15,1)$;

3) $g(-0,3)$ и $g(0,3)$;

4) $g(1,4)$ и $g(-2,1)$.

2. Определите графически количество корней уравнения:

1) $x^4 = x + 5$;

2) $-x^5 = 5 - x$.

3. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени $n$ функции $y = x^n$, если:

1) $f(-7) > f(-1)$;

2) $f(-7) > f(1)$;

3) $f(-7) < f(-1)$;

4) $f(-7) < f(1)$?

4. Решите уравнение $4x^{18} + 7x^2 = 11$.

1. Функция задана формулой $g(x) = x^{12}$. Сравните:

Функция $g(x) = x^{12}$ является степенной функцией с чётным натуральным показателем степени (12). Основные свойства такой функции:

• Она является чётной, то есть $g(-x) = g(x)$ для любого $x$.
• Она убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• Она возрастает на промежутке $[0, \infty)$.

1) g(5,8) и g(4,9)

Аргументы 5,8 и 4,9 принадлежат промежутку возрастания функции $[0, \infty)$. Так как $5,8 > 4,9$, то и значение функции в этой точке будет больше: $g(5,8) > g(4,9)$.

Ответ: $g(5,8) > g(4,9)$.

2) g(–12,3) и g(–15,1)

Аргументы –12,3 и –15,1 принадлежат промежутку убывания функции $(-\infty, 0]$. Так как $-15,1 < -12,3$, то для убывающей функции выполняется обратное неравенство для значений функции: $g(-15,1) > g(-12,3)$.

Ответ: $g(-12,3) < g(-15,1)$.

3) g(–0,3) и g(0,3)

Так как функция $g(x) = x^{12}$ является чётной, то по определению чётной функции $g(-x) = g(x)$. Следовательно, $g(-0,3) = g(0,3)$.

Ответ: $g(-0,3) = g(0,3)$.

4) g(1,4) и g(–2,1)

Используем свойство чётности функции: $g(-2,1) = g(2,1)$. Теперь сравним $g(1,4)$ и $g(2,1)$. Оба аргумента 1,4 и 2,1 принадлежат промежутку возрастания функции $[0, \infty)$. Так как $1,4 < 2,1$, то $g(1,4) < g(2,1)$. Следовательно, $g(1,4) < g(-2,1)$.

Ответ: $g(1,4) < g(-2,1)$.

2. Определите графически количество корней уравнения:

Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения.

1) $x^4 = x + 5$

Построим в одной системе координат графики функций $y = x^4$ и $y = x + 5$.
$y = x^4$ — это степенная функция, её график похож на параболу, симметричен относительно оси OY, проходит через точки (0; 0), (1; 1), (-1; 1).
$y = x + 5$ — это прямая, проходящая через точки (0; 5) и (-5; 0).
Эскиз графиков показывает, что прямая пересекает график функции $y = x^4$ в двух точках: одна при $x < 0$ и одна при $x > 0$. Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2 корня.

2) $-x^5 = 5 - x$

Преобразуем уравнение к виду $x^5 = x - 5$. Построим в одной системе координат графики функций $y = x^5$ и $y = x - 5$.
$y = x^5$ — это степенная функция, её график проходит через начало координат и расположен в I и III координатных четвертях. Функция возрастает на всей числовой оси.
$y = x - 5$ — это прямая, параллельная прямой $y = x$ и смещённая на 5 единиц вниз. Она проходит через точки (0; -5) и (5; 0).
Эскиз графиков показывает, что прямая пересекает график функции $y = x^5$ в одной точке. Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 1 корень.

3. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени n функции $y = x^n$, если:

1) $f(-7) > f(-1)$

Подставим значения в неравенство: $(-7)^n > (-1)^n$.
Если $n$ — нечётное, то функция $f(x) = x^n$ возрастает. Из $-7 < -1$ следовало бы, что $f(-7) < f(-1)$, что противоречит условию.
Если $n$ — чётное, то функция $f(x) = x^n$ убывает на $(-\infty, 0]$. Из $-7 < -1$ следует, что $f(-7) > f(-1)$, что соответствует условию.
Следовательно, $n$ — чётное число.

Ответ: чётным.

2) $f(-7) > f(1)$

Подставим значения в неравенство: $(-7)^n > 1^n$, то есть $(-7)^n > 1$.
Если $n$ — нечётное, то $(-7)^n$ будет отрицательным числом, и неравенство не может выполняться.
Если $n$ — чётное, то $(-7)^n = 7^n$. Так как $n$ — натуральное чётное число ($n \ge 2$), то $7^n > 1$ выполняется.
Следовательно, $n$ — чётное число.

Ответ: чётным.

3) $f(-7) < f(-1)$

Подставим значения в неравенство: $(-7)^n < (-1)^n$.
Если $n$ — чётное, то функция $f(x) = x^n$ убывает на $(-\infty, 0]$. Из $-7 < -1$ следует, что $f(-7) > f(-1)$, что противоречит условию.
Если $n$ — нечётное, то функция $f(x) = x^n$ возрастает. Из $-7 < -1$ следует, что $f(-7) < f(-1)$, что соответствует условию.
Следовательно, $n$ — нечётное число.

Ответ: нечётным.

4) $f(-7) < f(1)$

Подставим значения в неравенство: $(-7)^n < 1^n$, то есть $(-7)^n < 1$.
Если $n$ — чётное, то $(-7)^n = 7^n \ge 7^2 = 49$. Неравенство $49 < 1$ не выполняется.
Если $n$ — нечётное, то $(-7)^n$ будет отрицательным числом. Любое отрицательное число меньше 1, поэтому неравенство выполняется.
Следовательно, $n$ — нечётное число.

Ответ: нечётным.

4. Решите уравнение $4x^{18} + 7x^2 = 11$.

Рассмотрим функцию $f(x) = 4x^{18} + 7x^2$. Так как показатели степеней 18 и 2 являются чётными числами, функция $f(x)$ является чётной, то есть $f(-x) = f(x)$. Это означает, что если $x_0$ является корнем уравнения, то и $-x_0$ также является корнем.

Подберём один из корней. Попробуем $x = 1$:
$f(1) = 4(1)^{18} + 7(1)^2 = 4 \cdot 1 + 7 \cdot 1 = 4 + 7 = 11$.
Так как $f(1) = 11$, то $x=1$ является корнем уравнения. В силу чётности функции, $x = -1$ также является корнем.

Докажем, что других корней нет. На промежутке $[0, \infty)$ функция $f(x) = 4x^{18} + 7x^2$ является суммой двух возрастающих функций, а значит, сама строго возрастает. Следовательно, каждое своё значение на этом промежутке она принимает только один раз. Поскольку $f(1) = 11$, других положительных корней у уравнения нет.

Аналогично, на промежутке $(-\infty, 0]$ функция $f(x)$ является строго убывающей. Значит, и на этом промежутке каждое своё значение она принимает только один раз. Поскольку $f(-1) = 11$, других отрицательных корней у уравнения нет.

Таким образом, уравнение имеет ровно два корня.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.