Номер 8, страница 32 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 8

Метод интервалов

1. Решите неравенство:

1) $(x^2 + 7x)(x^2 - 25) \le 0;$

2) $(x + 4)^2(x^2 + 8x + 12) < 0;$

3) $\frac{x^2 + 5x}{x - 1} \ge \frac{14}{x - 1};$

4) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} \le 0.$

2. Найдите множество решений неравенства $(x - 2)(x - a)^2 \ge 0$ в зависимости от значения параметра $a.$

1. Решите неравенство:

1) $(x^2 + 7x)(x^2 - 25) \le 0$

Разложим на множители левую часть неравенства:
$x(x + 7)(x - 5)(x + 5) \le 0$
Найдём корни уравнения $x(x + 7)(x - 5)(x + 5) = 0$. Корни: $x_1 = -7$, $x_2 = -5$, $x_3 = 0$, $x_4 = 5$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое, все точки будут закрашенными.
Определим знаки выражения на каждом из полученных интервалов.

Выбираем интервалы со знаком "минус", так как неравенство имеет вид $f(x) \le 0$.
Ответ: $x \in [-7, -5] \cup [0, 5]$.

2) $(x + 4)^2(x^2 + 8x + 12) < 0$

Разложим на множители квадратный трёхчлен $x^2 + 8x + 12$. Его корни по теореме Виета $x_1 = -6$ и $x_2 = -2$.
Получаем неравенство: $(x + 4)^2(x + 6)(x + 2) < 0$.
Корни левой части: $x_1 = -6$ (кратность 1), $x_2 = -4$ (кратность 2), $x_3 = -2$ (кратность 1).
Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.
При переходе через корень чётной кратности ($x=-4$) знак выражения не меняется.

Выбираем интервалы со знаком "минус", так как неравенство имеет вид $f(x) < 0$.
Ответ: $x \in (-6, -4) \cup (-4, -2)$.

3) $\frac{x^2 + 5x}{x - 1} \ge \frac{14}{x-1}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.
Перенесём все члены в левую часть и приведём к общему знаменателю:
$\frac{x^2 + 5x}{x - 1} - \frac{14}{x - 1} \ge 0$
$\frac{x^2 + 5x - 14}{x - 1} \ge 0$
Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$ равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.
$\frac{(x + 7)(x - 2)}{x - 1} \ge 0$
Найдём нули числителя ($x=-7, x=2$) и нули знаменателя ($x=1$).
Отметим эти точки на числовой прямой. Нули числителя будут закрашенными, а нуль знаменателя — выколотым.

Выбираем интервалы со знаком "плюс", так как неравенство имеет вид $f(x) \ge 0$.
Ответ: $x \in [-7, 1) \cup [2, +\infty)$.

4) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} \le 0$

Найдём область допустимых значений (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$x^2 + 8x + 7 \ge 0$
Корни уравнения $x^2 + 8x + 7 = 0$ равны $x_1 = -7$ и $x_2 = -1$.
Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, -7] \cup [-1, +\infty)$.
Неравенство выполняется в двух случаях:
1. Произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю (и при этом $x$ входит в ОДЗ).
$\sqrt{x^2 + 8x + 7} = 0 \Rightarrow x^2 + 8x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7, x = -1$. Оба значения входят в ОДЗ.
$x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 1, x = 3$. Оба значения входят в ОДЗ, так как $1 \in [-1, +\infty)$ и $3 \in [-1, +\infty)$.
Таким образом, числа $\{-7, -1, 1, 3\}$ являются решениями.
2. Произведение строго меньше нуля.
Так как $\sqrt{x^2 + 8x + 7}$ всегда положителен (случай равенства нулю мы рассмотрели), для выполнения неравенства необходимо, чтобы первый множитель был отрицателен:
$x^2 - 4x + 3 < 0$
$(x-1)(x-3) < 0 \Rightarrow 1 < x < 3$.
Теперь необходимо пересечь это решение с ОДЗ: $(1, 3) \cap ((-\infty, -7] \cup [-1, +\infty))$.
Пересечением является сам интервал $(1, 3)$.
Объединяем решения из обоих случаев: $\{ -7, -1, 1, 3 \} \cup (1, 3)$.
Ответ: $x \in \{-7, -1\} \cup [1, 3]$.

2. Найдите множество решений неравенства $(x-2)(x-a)^2 \ge 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Выражение $(x-a)^2$ всегда неотрицательно, т.е. $(x-a)^2 \ge 0$ при любом $x$.
Рассмотрим два случая:
1. $(x-a)^2 = 0$, то есть $x=a$. В этом случае неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что является верным. Следовательно, $x=a$ всегда является решением.
2. $(x-a)^2 > 0$, то есть $x \ne a$. В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $(x-a)^2$, не меняя знака неравенства:
$x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$.
Итак, множество решений состоит из точки $x=a$ и луча $x \ge 2$ (с возможным исключением точки $x=a$, если она не попадает в этот луч, но мы ее добавляем из первого случая).
Общее множество решений: $\{a\} \cup [2, +\infty)$.
Теперь проанализируем это множество в зависимости от значения параметра $a$:
• Если $a \ge 2$, то точка $a$ уже принадлежит промежутку $[2, +\infty)$. В этом случае объединение множеств даёт сам промежуток.
• Если $a < 2$, то точка $a$ не принадлежит промежутку $[2, +\infty)$. В этом случае множество решений состоит из изолированной точки $a$ и промежутка $[2, +\infty)$.
Ответ:
Если $a < 2$, то $x \in \{a\} \cup [2, +\infty)$;
Если $a \ge 2$, то $x \in [2, +\infty)$.