Номер 4, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1.

Предикат $A(x; y)$ задан уравнением $(x-3)^2 + y^2 = 0$. Область истинности этого предиката — это множество всех пар действительных чисел $(x; y)$, которые удовлетворяют данному уравнению.

Выражение $(x-3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Аналогично, $y^2 \ge 0$ для любого $y \in \mathbb{R}$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны нулю. Таким образом, уравнение $(x-3)^2 + y^2 = 0$ равносильно системе уравнений:

$$ \begin{cases} (x-3)^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения получаем $x-3=0$, откуда $x=3$.

Из второго уравнения получаем $y=0$.

Следовательно, единственная пара чисел, которая удовлетворяет условию, — это $(3, 0)$.

Ответ: Область истинности предиката $A(x; y)$ — это множество, состоящее из одной упорядоченной пары: $\{(3, 0)\}$.

2.

Сначала найдем области истинности предикатов $A(x)$ и $B(x)$ на множестве действительных чисел $\mathbb{R}$.

Для предиката $A(x) = \{x^2 - 25 = 0\}$:

$x^2 - 25 = 0 \implies (x-5)(x+5) = 0 \implies x=5$ или $x=-5$.

Область истинности $T_A = \{-5, 5\}$.

Для предиката $B(x) = \{x^2 + 5x = 0\}$:

$x(x+5) = 0 \implies x=0$ или $x=-5$.

Область истинности $T_B = \{-5, 0\}$.

Теперь найдем области истинности для составных предикатов.

1) $A(x) \land B(x)$ (конъюнкция)

Предикат истинен, когда истинны оба предиката $A(x)$ и $B(x)$. Область истинности конъюнкции — это пересечение областей истинности исходных предикатов.

$T_{A \land B} = T_A \cap T_B = \{-5, 5\} \cap \{-5, 0\} = \{-5\}$.

Ответ: $\{-5\}$.

2) $A(x) \lor B(x)$ (дизъюнкция)

Предикат истинен, когда истинен хотя бы один из предикатов $A(x)$ или $B(x)$. Область истинности дизъюнкции — это объединение областей истинности исходных предикатов.

$T_{A \lor B} = T_A \cup T_B = \{-5, 5\} \cup \{-5, 0\} = \{-5, 0, 5\}$.

Ответ: $\{-5, 0, 5\}$.

3) $A(x) \Rightarrow B(x)$ (импликация)

Импликация $A(x) \Rightarrow B(x)$ ложна только в том случае, когда $A(x)$ истинно, а $B(x)$ ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. Это означает, что из области истинности $T_A$ нужно исключить те элементы, которые не принадлежат $T_B$, а все остальные действительные числа будут входить в область истинности импликации.

$A(x)$ истинно для $x \in \{-5, 5\}$.

$B(x)$ истинно для $x \in \{-5, 0\}$.

При $x=5$: $A(5)$ истинно, $B(5)$ ложно ($5^2+5 \cdot 5 = 50 \neq 0$). Импликация ложна.

При $x=-5$: $A(-5)$ истинно, $B(-5)$ истинно. Импликация истинна.

Если $A(x)$ ложно (т.е. $x \notin \{-5, 5\}$), импликация всегда истинна.

Таким образом, импликация ложна только при $x=5$. Область истинности — это все действительные числа, кроме 5.

Ответ: $\mathbb{R} \setminus \{5\}$, или $(-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

4) $A(x) \Leftrightarrow B(x)$ (эквиваленция)

Эквиваленция истинна, когда оба предиката $A(x)$ и $B(x)$ имеют одинаковое значение истинности (оба истинны или оба ложны).

Случай 1: Оба истинны. Это соответствует $T_A \cap T_B = \{-5\}$.

Случай 2: Оба ложны. Это соответствует $x \notin T_A$ и $x \notin T_B$, то есть $x \notin T_A \cup T_B$. $T_A \cup T_B = \{-5, 0, 5\}$. Значит, оба предиката ложны для $x \in \mathbb{R} \setminus \{-5, 0, 5\}$.

Объединяя оба случая, получаем область истинности: $\{-5\} \cup (\mathbb{R} \setminus \{-5, 0, 5\}) = \mathbb{R} \setminus \{0, 5\}$.

Ответ: $\mathbb{R} \setminus \{0, 5\}$, или $(-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$.

3.

Нужно подставить квантор всеобщности $\forall$ («для любого») или квантор существования $\exists$ («существует»), чтобы высказывание стало истинным.

1) $(*x \in \mathbb{R})(x^2 + 4x + 5 \ge 1)$

Рассмотрим неравенство: $x^2 + 4x + 5 \ge 1$.

Перенесем 1 в левую часть: $x^2 + 4x + 4 \ge 0$.

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы: $(x+2)^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому неравенство $(x+2)^2 \ge 0$ верно для всех $x \in \mathbb{R}$.

Следовательно, нужно поставить квантор всеобщности $\forall$.

Ответ: $\forall$.

2) $(*x \in \mathbb{R})(3x - 5 > 0)$

Рассмотрим неравенство: $3x - 5 > 0$.

Решим его: $3x > 5 \implies x > \frac{5}{3}$.

Это неравенство верно не для всех действительных чисел (например, при $x=0$ получаем $-5>0$, что ложно), но оно верно для некоторых чисел (например, при $x=2$ получаем $1>0$, что истинно). Значит, существует такое $x \in \mathbb{R}$, для которого неравенство выполняется.

Следовательно, нужно поставить квантор существования $\exists$.

Ответ: $\exists$.

4.

Исходная теорема: «если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны».

Введем обозначения:

Утверждение $P$: «накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны».

Утверждение $Q$: «прямые параллельны».

Исходная теорема имеет вид $P \Rightarrow Q$.

1) противоположную данной

Противоположная теорема (инверсия) имеет вид $\neg P \Rightarrow \neg Q$.

$\neg P$: «накрест лежащие углы ... не равны».

$\neg Q$: «прямые не параллельны (пересекаются)».

Формулировка:

Ответ: Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, не равны, то прямые не параллельны.

2) обратную противоположной

Обратная к противоположной теореме (контрапозиция). Противоположная теорема — это $\neg P \Rightarrow \neg Q$. Обратная к ней — это $\neg Q \Rightarrow \neg P$.

$\neg Q$: «прямые не параллельны (пересекаются)».

$\neg P$: «накрест лежащие углы ... не равны».

Формулировка:

Ответ: Если две прямые не параллельны, то накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении этих прямых секущей, не равны.