Номер 3, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 3

Высказывания и операции над ними

1. Даны два высказывания: $A=\{7<11\}$, $B=\{\sqrt{3} \in Z\}$. Определите, истинным или ложным является высказывание:

1) $\overline{A} \vee B$

2) $\overline{A} \Rightarrow B$

3) $\overline{B} \wedge \overline{A}$

4) $\overline{B} \Leftrightarrow A$

2. Пусть $f$ — функция истинности, $A$ и $B$ — некоторые высказывания. Известно, что $f(B)=1$ и $f(A \vee \overline{B})=0$. Найдите $f(A)$.

3. Составьте таблицу истинности для логического выражения $(C \vee B) \Leftrightarrow \overline{A}$.

1.

Сначала определим истинность данных высказываний A и B.
Высказывание $A = \{7 < 11\}$ является истинным, так как неравенство $7 < 11$ верно. Обозначим истинность как 1, то есть $A=1$.
Высказывание $B = \{\sqrt{3} \in Z\}$ является ложным, так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, а это число не является целым (Z – множество целых чисел). Обозначим ложность как 0, то есть $B=0$.

Соответственно, истинность их отрицаний:
$\bar{A}$ (не A) – ложно ($0$), так как A истинно.
$\bar{B}$ (не B) – истинно ($1$), так как B ложно.

Теперь определим истинность составных высказываний.

1) $\bar{A} \lor B$
Подставляем значения истинности: $0 \lor 0$. Операция дизъюнкции (логическое "ИЛИ") даёт ложный результат (0) тогда и только тогда, когда оба операнда ложны. В данном случае это так.
Ответ: ложь.

2) $\bar{A} \Rightarrow B$
Подставляем значения истинности: $0 \Rightarrow 0$. Операция импликации (логическое следование) ложна (0) только в одном случае: когда из истины (1) следует ложь (0). Во всех остальных случаях, включая "из лжи следует ложь", импликация истинна (1).
Ответ: истина.

3) $\bar{B} \land \bar{A}$
Подставляем значения истинности: $1 \land 0$. Операция конъюнкции (логическое "И") даёт истинный результат (1) тогда и только тогда, когда оба операнда истинны. В данном случае один операнд истинен, а другой ложен, поэтому результат — ложь (0).
Ответ: ложь.

4) $\bar{B} \Leftrightarrow A$
Подставляем значения истинности: $1 \Leftrightarrow 1$. Операция эквиваленции (равнозначности) истинна (1) тогда, когда оба операнда имеют одинаковое значение истинности (оба истинны или оба ложны). В данном случае оба операнда истинны.
Ответ: истина.

2.

Нам даны значения истинности для двух высказываний: $f(B) = 1$ (высказывание B истинно) и $f(A \lor \bar{B}) = 0$ (высказывание $A \lor \bar{B}$ ложно). Требуется найти $f(A)$.
1. Из того, что $f(B) = 1$, следует, что отрицание B, то есть $\bar{B}$, является ложным. Таким образом, $f(\bar{B}) = 0$.
2. Рассмотрим второе условие: $f(A \lor \bar{B}) = 0$. Это означает, что дизъюнкция ("ИЛИ") высказываний A и $\bar{B}$ является ложной.
3. Дизъюнкция ложна только в том случае, когда оба составляющих её высказывания ложны.
Следовательно, из $f(A \lor \bar{B}) = 0$ следует, что $f(A) = 0$ и $f(\bar{B}) = 0$.
Это не противоречит выводу из первого пункта. Значит, высказывание A является ложным.
Ответ: $f(A) = 0$.

3.

Для составления таблицы истинности для логического выражения $(C \lor B) \Leftrightarrow A$ нужно рассмотреть все возможные комбинации значений истинности для трех независимых переменных A, B и C. Общее число таких комбинаций равно $2^3 = 8$. В таблице будем обозначать истину как 1, а ложь как 0.

Ответ: Таблица истинности для выражения $(C \lor B) \Leftrightarrow A$ представлена выше.