Номер 46, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 46

Построение графиков функций

1. Сколько корней имеет уравнение $3x^2 - x^3 = a$ в зависимости от значения параметра $a$?

2. Постройте график функции $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 4}$.

1.

Чтобы определить количество корней уравнения $3x^2 - x^3 = a$ в зависимости от параметра $a$, мы исследуем функцию $f(x) = 3x^2 - x^3$ и найдем, сколько раз горизонтальная прямая $y=a$ пересекает её график.

1. Найдём производную функции, чтобы определить точки экстремума.
$f'(x) = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки.
$6x - 3x^2 = 0$
$3x(2 - x) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

3. Определим знаки производной на интервалах, чтобы найти промежутки возрастания и убывания.
- При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0, 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (2, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

4. Найдём значения функции в точках экстремума.
- В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$f_{min}(0) = 3(0)^2 - 0^3 = 0$.
- В точке $x=2$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.
$f_{max}(2) = 3(2)^2 - 2^3 = 3 \cdot 4 - 8 = 12 - 8 = 4$.

Таким образом, функция имеет локальный минимум $y_{min} = 0$ и локальный максимум $y_{max} = 4$.
Теперь проанализируем количество пересечений графика $y = f(x)$ с прямой $y = a$:
- Если прямая проходит выше максимума ($a > 4$) или ниже минимума ($a < 0$), будет одно пересечение.
- Если прямая проходит через максимум ($a = 4$) или через минимум ($a = 0$), будет два пересечения.
- Если прямая проходит между минимумом и максимумом ($0 < a < 4$), будет три пересечения.

Ответ:
- при $a < 0$ или $a > 4$ — 1 корень;
- при $a = 0$ или $a = 4$ — 2 корня;
- при $0 < a < 4$ — 3 корня.

2.

Для построения графика функции $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 4}$ проведём её исследование.

1. Область определения.
Знаменатель $x^2 + 4$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Чётность.
$f(-x) = \frac{4(-x)}{(-x)^2 + 4} = \frac{-4x}{x^2 + 4} = -f(x)$.
Функция является нечётной. Её график симметричен относительно начала координат (0, 0).

3. Точки пересечения с осями координат.
При $x=0$, $f(0) = 0$. График проходит через начало координат (0, 0). Это единственная точка пересечения с осями.

4. Асимптоты.
- Вертикальных асимптот нет.
- Найдём горизонтальную асимптоту: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x}{x^2 + 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{4x}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{4}{x^2}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{4}{x}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{0}{1} = 0$.
Прямая $y=0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдём первую производную:
$f'(x) = \left(\frac{4x}{x^2 + 4}\right)' = \frac{(4x)'(x^2 + 4) - 4x(x^2 + 4)'}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4(x^2 + 4) - 4x(2x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4x^2 + 16 - 8x^2}{(x^2 + 4)^2} = \frac{16 - 4x^2}{(x^2 + 4)^2}$.
Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $16 - 4x^2 = 0 \Rightarrow 4x^2 = 16 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
- На интервале $(-\infty, -2)$ $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-2, 2)$ $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(2, \infty)$ $f'(x) < 0$, функция убывает.
Точка $x = -2$ является точкой локального минимума. $f(-2) = \frac{4(-2)}{(-2)^2 + 4} = \frac{-8}{8} = -1$.
Точка $x = 2$ является точкой локального максимума. $f(2) = \frac{4(2)}{2^2 + 4} = \frac{8}{8} = 1$.

6. Построение графика.
На основе полученных данных строим график.
- График симметричен относительно начала координат.
- Проходит через точку (0, 0).
- При $x \to \pm\infty$ график приближается к оси OX ($y=0$).
- В точке $(-2, -1)$ находится локальный минимум.
- В точке $(2, 1)$ находится локальный максимум.
График представляет собой волну, которая при $x \to -\infty$ выходит из-под оси OX, достигает минимума в $(-2, -1)$, затем возрастает, проходит через начало координат, достигает максимума в $(2, 1)$, и затем убывает, приближаясь к оси OX сверху при $x \to +\infty$.

Ответ:
График функции $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 4}$ — это кривая, симметричная относительно начала координат, с горизонтальной асимптотой $y=0$. Точка локального минимума: $(-2, -1)$, точка локального максимума: $(2, 1)$. График пересекает оси координат в единственной точке (0,0).