Номер 41, страница 25 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 41

Уравнение касательной

1. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x - 4}{x^2 - 2}$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$.

2. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 + 3x - 5$, которая параллельна прямой $y = 7x - 2$.

3. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = -x^2 + 1$, проходящей через точку А (1; 1).

1. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = \frac{x-4}{x^2 - 2}$ и точка $x_0 = -1$.

Сначала найдем значение функции в этой точке:

$f(x_0) = f(-1) = \frac{-1 - 4}{(-1)^2 - 2} = \frac{-5}{1 - 2} = \frac{-5}{-1} = 5$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x-4)'(x^2-2) - (x-4)(x^2-2)'}{(x^2-2)^2} = \frac{1 \cdot (x^2-2) - (x-4) \cdot 2x}{(x^2-2)^2} = \frac{x^2-2 - 2x^2 + 8x}{(x^2-2)^2} = \frac{-x^2 + 8x - 2}{(x^2-2)^2}$.

Далее найдем значение производной в точке $x_0 = -1$, которое равно угловому коэффициенту касательной:

$f'(x_0) = f'(-1) = \frac{-(-1)^2 + 8(-1) - 2}{((-1)^2 - 2)^2} = \frac{-1 - 8 - 2}{(1-2)^2} = \frac{-11}{(-1)^2} = -11$.

Подставим найденные значения $x_0 = -1$, $f(x_0) = 5$ и $f'(x_0) = -11$ в уравнение касательной:

$y = 5 + (-11)(x - (-1))$

$y = 5 - 11(x+1)$

$y = 5 - 11x - 11$

$y = -11x - 6$.

Ответ: $y = -11x - 6$.

2. Касательная к графику функции $f(x) = x^2 + 3x - 5$ параллельна прямой $y = 7x - 2$.

Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y = 7x - 2$ равен $k=7$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 + 3x - 5)' = 2x + 3$.

Приравняем производную к заданному угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = 7$

$2x_0 + 3 = 7$

$2x_0 = 4$

$x_0 = 2$.

Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = 2$ в исходную функцию:

$y_0 = f(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 - 5 = 4 + 6 - 5 = 5$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(2; 5)$.

Составим уравнение касательной, используя формулу $y = y_0 + k(x - x_0)$:

$y = 5 + 7(x - 2)$

$y = 5 + 7x - 14$

$y = 7x - 9$.

Ответ: $y = 7x - 9$.

3. Необходимо составить уравнение касательной к графику функции $f(x) = -x^2 + 1$, проходящей через точку А(1; 1).

Сначала проверим, лежит ли точка А на графике функции: $f(1) = -1^2 + 1 = 0$. Так как $f(1) \neq 1$, точка А не является точкой касания.

Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Уравнение касательной в общем виде: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^2 + 1)' = -2x$.

Значения функции и ее производной в точке $x_0$:

$f(x_0) = -x_0^2 + 1$

$f'(x_0) = -2x_0$.

Подставим эти выражения в уравнение касательной:

$y = (-x_0^2 + 1) + (-2x_0)(x - x_0)$

$y = -x_0^2 + 1 - 2x_0x + 2x_0^2$

$y = -2x_0x + x_0^2 + 1$.

Поскольку касательная проходит через точку A(1; 1), ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим $x=1$ и $y=1$:

$1 = -2x_0(1) + x_0^2 + 1$

$0 = x_0^2 - 2x_0$

$x_0(x_0 - 2) = 0$.

Получаем два возможных значения для $x_0$: $x_0 = 0$ и $x_0 = 2$. Это означает, что из точки А можно провести две касательные к графику функции.

Найдем уравнения для каждого случая:

1) При $x_0 = 0$:

Подставляем $x_0=0$ в общее уравнение касательной $y = -2x_0x + x_0^2 + 1$:

$y = -2(0)x + 0^2 + 1 \Rightarrow y = 1$.

2) При $x_0 = 2$:

Подставляем $x_0=2$ в общее уравнение касательной $y = -2x_0x + x_0^2 + 1$:

$y = -2(2)x + 2^2 + 1 \Rightarrow y = -4x + 4 + 1 \Rightarrow y = -4x + 5$.

Ответ: $y = 1$ и $y = -4x + 5$.