Номер 38, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 38

Задачи о мгновенной скорости и касательной к графику функции

Для функции $f(x) = 4 - 2x^2$ и точки $x_0$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 3t^2 + 1$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите мгновенную скорость материальной точки в момент времени $t_0 = 4$ с.

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = x^2 + 2$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

1.

Дана функция $f(x) = 4 - 2x^2$ и точка $x_0$.

Сначала найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$.

По определению, $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x$:

$f(x_0 + \Delta x) = 4 - 2(x_0 + \Delta x)^2 = 4 - 2(x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) = 4 - 2x_0^2 - 4x_0\Delta x - 2(\Delta x)^2$.

Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = 4 - 2x_0^2$.

Теперь найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = (4 - 2x_0^2 - 4x_0\Delta x - 2(\Delta x)^2) - (4 - 2x_0^2) = -4x_0\Delta x - 2(\Delta x)^2$.

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-4x_0\Delta x - 2(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(-4x_0 - 2\Delta x)}{\Delta x} = -4x_0 - 2\Delta x$.

Далее найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-4x_0 - 2\Delta x) = -4x_0 - 2 \cdot 0 = -4x_0$.

Ответ: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -4x_0 - 2\Delta x$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = -4x_0$.

2.

Мгновенная скорость материальной точки является производной от функции перемещения по времени. Закон движения задан функцией $s(t) = 3t^2 + 1$.

Найдем функцию скорости $v(t)$, взяв производную от функции $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = (3t^2 + 1)'$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = (3t^2)' + (1)' = 3 \cdot 2t + 0 = 6t$.

Теперь найдем мгновенную скорость в момент времени $t_0 = 4$ с, подставив это значение в функцию скорости:

$v(4) = 6 \cdot 4 = 24$ (м/с).

Ответ: 24 м/с.

3.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке.

Дана функция $y = x^2 + 2$ и точка с абсциссой $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (x^2 + 2)'$.

По правилам дифференцирования:

$y'(x) = (x^2)' + (2)' = 2x + 0 = 2x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$, чтобы найти угловой коэффициент $k$:

$k = y'(1) = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2.