Номер 34, страница 21 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 34

Решите уравнение:

1) $\cos9x - \cos5x = \sqrt{3}\sin2x;$

2) $\sin5x\sin x = \cos4x;$

3) $\cos^2 x + \cos^2 5x = 1;$

4) $\sin12x = 2\cos\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right);$

5) $\cos\frac{3x}{2} + \cos x = 2.$

1) $\cos{9x} - \cos{5x} = \sqrt{3}\sin{2x}$

Применим формулу разности косинусов $\cos{\alpha} - \cos{\beta} = -2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}$ к левой части уравнения:

$-2\sin{\frac{9x+5x}{2}}\sin{\frac{9x-5x}{2}} = \sqrt{3}\sin{2x}$

$-2\sin{7x}\sin{2x} = \sqrt{3}\sin{2x}$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\sin{2x}$ за скобки:

$-2\sin{7x}\sin{2x} - \sqrt{3}\sin{2x} = 0$

$\sin{2x}(2\sin{7x} + \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $\sin{2x} = 0$

$2x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

б) $2\sin{7x} + \sqrt{3} = 0$

$\sin{7x} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$7x = (-1)^{n}\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$7x = (-1)^{n}(-\frac{\pi}{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$7x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{(-1)^{n+1}\pi}{21} + \frac{\pi n}{7}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}; \quad x = \frac{(-1)^{n+1}\pi}{21} + \frac{\pi n}{7}, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin{5x}\sin{x} = \cos{4x}$

Применим формулу произведения синусов $\sin{\alpha}\sin{\beta} = \frac{1}{2}(\cos{(\alpha-\beta)} - \cos{(\alpha+\beta)})$:

$\frac{1}{2}(\cos{(5x-x)} - \cos{(5x+x)}) = \cos{4x}$

$\frac{1}{2}(\cos{4x} - \cos{6x}) = \cos{4x}$

$\cos{4x} - \cos{6x} = 2\cos{4x}$

$-\cos{6x} = \cos{4x}$

$\cos{6x} + \cos{4x} = 0$

Применим формулу суммы косинусов $\cos{\alpha} + \cos{\beta} = 2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$:

$2\cos{\frac{6x+4x}{2}}\cos{\frac{6x-4x}{2}} = 0$

$2\cos{5x}\cos{x} = 0$

Получаем совокупность уравнений:

а) $\cos{5x} = 0$

$5x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}$

б) $\cos{x} = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Заметим, что вторая серия решений ($x = \frac{\pi}{2} + \pi n$) является подмножеством первой ($x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$). Если $k = 2+5n$, то $\frac{\pi}{10} + \frac{\pi(2+5n)}{5} = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} + \pi n = \frac{\pi+4\pi}{10} + \pi n = \frac{5\pi}{10} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Таким образом, достаточно указать только первую, более общую, серию решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos^2{x} + \cos^2{5x} = 1$

Используем формулу понижения степени $\cos^2{\alpha} = \frac{1+\cos{2\alpha}}{2}$:

$\frac{1+\cos{2x}}{2} + \frac{1+\cos{10x}}{2} = 1$

Умножим обе части уравнения на 2:

$1+\cos{2x} + 1+\cos{10x} = 2$

$\cos{10x} + \cos{2x} = 0$

Применим формулу суммы косинусов:

$2\cos{\frac{10x+2x}{2}}\cos{\frac{10x-2x}{2}} = 0$

$2\cos{6x}\cos{4x} = 0$

Получаем совокупность уравнений:

а) $\cos{6x} = 0$

$6x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{6}, \quad k \in \mathbb{Z}$

б) $\cos{4x} = 0$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{6}; \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin{12x} = 2\cos{(\frac{\pi}{2} - 4x)}$

Используем формулу приведения $\cos{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} = \sin{\alpha}$:

$\sin{12x} = 2\sin{4x}$

Применим формулу синуса тройного угла $\sin{3\alpha} = 3\sin{\alpha} - 4\sin^3{\alpha}$ для левой части, где $\alpha=4x$:

$3\sin{4x} - 4\sin^3{4x} = 2\sin{4x}$

$\sin{4x} - 4\sin^3{4x} = 0$

Вынесем $\sin{4x}$ за скобки:

$\sin{4x}(1 - 4\sin^2{4x}) = 0$

Получаем совокупность уравнений:

а) $\sin{4x} = 0$

$4x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$

б) $1 - 4\sin^2{4x} = 0$

$\sin^2{4x} = \frac{1}{4}$

$\sin{4x} = \pm\frac{1}{2}$

$4x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{4} \pm \frac{\pi}{24}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{4}; \quad x = \frac{\pi n}{4} \pm \frac{\pi}{24}, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

5) $\cos{\frac{3x}{2}} + \cos{x} = 2$

Область значений функции косинус - это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, $-1 \le \cos{\alpha} \le 1$ для любого $\alpha$.

В данном уравнении сумма двух косинусов равна 2. Это возможно только в том случае, когда каждый из косинусов принимает свое максимальное значение, равное 1.

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} \cos{\frac{3x}{2}} = 1 \\ \cos{x} = 1 \end{cases}$

Решим каждое уравнение отдельно:

Из второго уравнения: $\cos{x} = 1 \implies x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Из первого уравнения: $\cos{\frac{3x}{2}} = 1 \implies \frac{3x}{2} = 2\pi n \implies x = \frac{4\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Для нахождения решения системы необходимо найти пересечение этих двух множеств решений:

$2\pi k = \frac{4\pi n}{3}$

Разделим обе части на $2\pi$:

$k = \frac{2n}{3}$

Так как $k$ должно быть целым числом, $n$ должно быть кратно 3. Пусть $n = 3m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Подставим $n = 3m$ во вторую серию решений, чтобы найти общие корни:

$x = \frac{4\pi (3m)}{3} = 4\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 4\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.