Номер 28, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 28

Формулы для преобразования суммы, разности и произведения тригонометрических функций

1. Преобразуйте в произведение:

1) $ \cos 40^\circ + \cos 10^\circ $

2) $ \cos \left( 2\alpha - \frac{2\pi}{3} \right) - \cos \left( \frac{\pi}{3} + 2\alpha \right) $

3) $ \cos 4\beta - \sin 2\beta $

4) $ 1 + 2\sin \alpha $

2. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $ \sin \frac{5\pi}{24} \cos \frac{11\pi}{24} $

2) $ \cos \alpha \cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) $

3. Докажите тождество:

1) $ \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 4\alpha \sin \alpha = \cos 3\alpha \cos 2\alpha $

2) $ \cos^2 (\alpha - \beta) - \sin^2 (\alpha + \beta) = \cos 2\alpha \cos 2\beta $

1) Для преобразования суммы $ \cos40^\circ + \cos10^\circ $ в произведение используем формулу суммы косинусов:

$ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $.

Подставляя $ x = 40^\circ $ и $ y = 10^\circ $, получаем:

$ \cos40^\circ + \cos10^\circ = 2 \cos\frac{40^\circ+10^\circ}{2} \cos\frac{40^\circ-10^\circ}{2} = 2 \cos(25^\circ) \cos(15^\circ) $.

Ответ: $ 2 \cos25^\circ \cos15^\circ $.

2) Для выражения $ \cos(2\alpha - \frac{2\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{3} + 2\alpha) $ используем формулу разности косинусов:

$ \cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $.

Пусть $ x = 2\alpha - \frac{2\pi}{3} $ и $ y = \frac{\pi}{3} + 2\alpha $. Найдем полусумму и полуразность аргументов:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{2\alpha - \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\alpha}{2} = \frac{4\alpha - \frac{\pi}{3}}{2} = 2\alpha - \frac{\pi}{6} $.

$ \frac{x-y}{2} = \frac{2\alpha - \frac{2\pi}{3} - (\frac{\pi}{3} + 2\alpha)}{2} = \frac{-\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} $.

Подставляем в формулу:

$ -2 \sin(2\alpha - \frac{\pi}{6}) \sin(-\frac{\pi}{2}) = -2 \sin(2\alpha - \frac{\pi}{6}) \cdot (-1) = 2 \sin(2\alpha - \frac{\pi}{6}) $.

Ответ: $ 2 \sin(2\alpha - \frac{\pi}{6}) $.

3) В выражении $ \cos4\beta - \sin2\beta $ приведем функции к одному наименованию, используя формулу приведения $ \sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x) $:

$ \cos4\beta - \sin2\beta = \cos4\beta - \cos(\frac{\pi}{2} - 2\beta) $.

Теперь применяем формулу разности косинусов $ \cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $.

При $ x = 4\beta $ и $ y = \frac{\pi}{2} - 2\beta $:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{4\beta + \frac{\pi}{2} - 2\beta}{2} = \frac{2\beta + \frac{\pi}{2}}{2} = \beta + \frac{\pi}{4} $.

$ \frac{x-y}{2} = \frac{4\beta - (\frac{\pi}{2} - 2\beta)}{2} = \frac{6\beta - \frac{\pi}{2}}{2} = 3\beta - \frac{\pi}{4} $.

Результат: $ -2 \sin(\beta + \frac{\pi}{4}) \sin(3\beta - \frac{\pi}{4}) $. Используя нечетность синуса, можно записать $ 2 \sin(\beta + \frac{\pi}{4}) \sin(\frac{\pi}{4} - 3\beta) $.

Ответ: $ 2 \sin(\beta + \frac{\pi}{4}) \sin(\frac{\pi}{4} - 3\beta) $.

4) Для преобразования $ 1 + 2\sin\alpha $ представим $ \frac{1}{2} $ как $ \sin\frac{\pi}{6} $:

$ 1 + 2\sin\alpha = 2(\frac{1}{2} + \sin\alpha) = 2(\sin\frac{\pi}{6} + \sin\alpha) $.

Используем формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $:

$ 2 \left( 2 \sin\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2} \right) = 4 \sin(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}) $.

Ответ: $ 4 \sin(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}) \cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}) $.

1) Для преобразования произведения $ \sin\frac{5\pi}{24}\cos\frac{11\pi}{24} $ в сумму используем формулу:

$ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $.

При $ x = \frac{5\pi}{24} $ и $ y = \frac{11\pi}{24} $ имеем:

$ x+y = \frac{5\pi}{24} + \frac{11\pi}{24} = \frac{16\pi}{24} = \frac{2\pi}{3} $.

$ x-y = \frac{5\pi}{24} - \frac{11\pi}{24} = -\frac{6\pi}{24} = -\frac{\pi}{4} $.

Следовательно, $ \sin\frac{5\pi}{24}\cos\frac{11\pi}{24} = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{2\pi}{3} + \sin(-\frac{\pi}{4})\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{2\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4}\right) $.

Вычисляя значения, получаем: $ \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4} $.

2) Для преобразования произведения $ \cos\alpha \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) $ в сумму используем формулу:

$ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y)) $.

При $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{3} - \alpha $ имеем:

$ x+y = \alpha + (\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{\pi}{3} $.

$ x-y = \alpha - (\frac{\pi}{3} - \alpha) = 2\alpha - \frac{\pi}{3} $.

Следовательно, $ \cos\alpha \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{3} + \cos(2\alpha - \frac{\pi}{3})\right) $.

Так как $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $, получаем $ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \cos(2\alpha - \frac{\pi}{3})\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(2\alpha - \frac{\pi}{3}) $.

Ответ: $ \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(2\alpha - \frac{\pi}{3}) $.

1) Докажем тождество $ \cos2\alpha\cos\alpha - \sin4\alpha\sin\alpha = \cos3\alpha\cos2\alpha $.

Преобразуем левую и правую части тождества, используя формулы преобразования произведения в сумму.

Левая часть (ЛЧ): $ \cos2\alpha\cos\alpha - \sin4\alpha\sin\alpha $.

Применяем $ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y)) $ и $ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $.

$ \cos2\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha) + \cos(\alpha)) $.

$ \sin4\alpha\sin\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha) - \cos(5\alpha)) $.

ЛЧ = $ \frac{1}{2}(\cos3\alpha + \cos\alpha) - \frac{1}{2}(\cos3\alpha - \cos5\alpha) = \frac{1}{2}(\cos3\alpha + \cos\alpha - \cos3\alpha + \cos5\alpha) = \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos5\alpha) $.

Правая часть (ПЧ): $ \cos3\alpha\cos2\alpha $.

ПЧ = $ \frac{1}{2}(\cos(3\alpha+2\alpha) + \cos(3\alpha-2\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos5\alpha + \cos\alpha) $.

Поскольку ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $ \cos^2(\alpha - \beta) - \sin^2(\alpha + \beta) = \cos2\alpha\cos2\beta $.

Используем формулы понижения степени: $ \cos^2 x = \frac{1+\cos2x}{2} $ и $ \sin^2 y = \frac{1-\cos2y}{2} $.

Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ \cos^2(\alpha - \beta) - \sin^2(\alpha + \beta) = \frac{1+\cos(2(\alpha-\beta))}{2} - \frac{1-\cos(2(\alpha+\beta))}{2} $

$ = \frac{1+\cos(2\alpha-2\beta) - (1-\cos(2\alpha+2\beta))}{2} = \frac{\cos(2\alpha-2\beta) + \cos(2\alpha+2\beta)}{2} $.

К числителю применим формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $:

$ \frac{2 \cos\frac{(2\alpha+2\beta)+(2\alpha-2\beta)}{2} \cos\frac{(2\alpha+2\beta)-(2\alpha-2\beta)}{2}}{2} = \frac{2 \cos\frac{4\alpha}{2} \cos\frac{4\beta}{2}}{2} = \cos2\alpha\cos2\beta $.

Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.