Номер 31, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 31

Уравнения $tg x = b$ и $ctg x = b$

1. Решите уравнение:

1) $tg(\frac{\pi}{6} - 4x) = 1;$

2) $3tg(8x - \frac{\pi}{4}) - 1 = 0;$

3) $2ctg(2x - \frac{\pi}{6}) - 4 = 0.$

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения $tg(4x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$

3. Сколько решений уравнения $ctg3x = -1$ принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$?

4. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $\frac{ctg x - a}{cos x - \frac{1}{2}} = 0$ на промежутке $(0; \pi)$?

1)

Решим уравнение $ \text{tg}(\frac{\pi}{6} - 4x) = 1 $.

Аргумент тангенса равен арктангенсу от 1 плюс период тангенса $ \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $:

$ \frac{\pi}{6} - 4x = \text{arctg}(1) + \pi n $

$ \frac{\pi}{6} - 4x = \frac{\pi}{4} + \pi n $

Выразим $ x $:

$ -4x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi n $

$ -4x = \frac{3\pi - 2\pi}{12} + \pi n $

$ -4x = \frac{\pi}{12} + \pi n $

$ x = -\frac{\pi}{48} - \frac{\pi n}{4} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{48} - \frac{\pi n}{4} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

2)

Решим уравнение $ 3\text{tg}(8x - \frac{\pi}{4}) - 1 = 0 $.

Преобразуем уравнение:

$ 3\text{tg}(8x - \frac{\pi}{4}) = 1 $

$ \text{tg}(8x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{3} $

Аргумент тангенса равен арктангенсу от $ \frac{1}{3} $ плюс период тангенса $ \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $:

$ 8x - \frac{\pi}{4} = \text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi n $

Выразим $ x $:

$ 8x = \frac{\pi}{4} + \text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi n $

$ x = \frac{\pi}{32} + \frac{1}{8}\text{arctg}(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{8} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{32} + \frac{1}{8}\text{arctg}(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{8} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

3)

Решим уравнение $ 2\text{ctg}(2x - \frac{\pi}{6}) - 4 = 0 $.

Преобразуем уравнение:

$ 2\text{ctg}(2x - \frac{\pi}{6}) = 4 $

$ \text{ctg}(2x - \frac{\pi}{6}) = 2 $

Аргумент котангенса равен арккотангенсу от 2 плюс период котангенса $ \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $:

$ 2x - \frac{\pi}{6} = \text{arcctg}(2) + \pi n $

Выразим $ x $:

$ 2x = \frac{\pi}{6} + \text{arcctg}(2) + \pi n $

$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}\text{arcctg}(2) + \frac{\pi n}{2} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}\text{arcctg}(2) + \frac{\pi n}{2} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

2.

Найдем общее решение уравнения $ \text{tg}(4x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

Общее решение уравнения $ \text{tg}(y) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $ имеет вид $ y = -\frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ 4x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + \pi n $

Выразим $ x $:

$ 4x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \pi n $

$ 4x = -\frac{2\pi + 3\pi}{12} + \pi n $

$ 4x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n $

$ x = -\frac{5\pi}{48} + \frac{\pi n}{4} $

Нам нужно найти наименьший положительный корень, то есть найти наименьшее целое $ n $, при котором $ x > 0 $.

$ -\frac{5\pi}{48} + \frac{\pi n}{4} > 0 $

$ \frac{\pi n}{4} > \frac{5\pi}{48} $

$ \frac{n}{4} > \frac{5}{48} $

$ n > \frac{20}{48} $

$ n > \frac{5}{12} $

Наименьшее целое $ n $, удовлетворяющее этому неравенству, это $ n = 1 $.

Подставим $ n=1 $ в формулу для $ x $:

$ x = -\frac{5\pi}{48} + \frac{\pi \cdot 1}{4} = -\frac{5\pi}{48} + \frac{12\pi}{48} = \frac{7\pi}{48} $.

Ответ: $ \frac{7\pi}{48} $.

3.

Сначала найдем общее решение уравнения $ \text{ctg}3x = -1 $.

$ 3x = \text{arcctg}(-1) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ 3x = \frac{3\pi}{4} + \pi n $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3} $

Теперь определим, сколько из этих решений принадлежат промежутку $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:

$ -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3} \le \frac{\pi}{2} $

Разделим все части неравенства на $ \pi $:

$ -\frac{1}{2} \le \frac{1}{4} + \frac{n}{3} \le \frac{1}{2} $

Вычтем $ \frac{1}{4} $ из всех частей:

$ -\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \le \frac{n}{3} \le \frac{1}{2} - \frac{1}{4} $

$ -\frac{3}{4} \le \frac{n}{3} \le \frac{1}{4} $

Умножим все части на 3:

$ -\frac{9}{4} \le n \le \frac{3}{4} $

$ -2.25 \le n \le 0.75 $

Так как $ n $ должно быть целым числом, возможные значения для $ n $ это $ -2, -1, 0 $.

Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет 3 решения.

Ответ: 3.

4.

Рассмотрим уравнение $ \frac{\text{ctg}x - a}{\text{cos}x - \frac{1}{2}} = 0 $ на промежутке $ (0; \pi) $.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Также необходимо учесть область определения котангенса.

Это приводит к системе условий:

$ \begin{cases} \text{ctg}x - a = 0 \\ \text{cos}x - \frac{1}{2} \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \\ x \in (0; \pi) \end{cases} $

Разберем условия:

1. Из первого уравнения получаем $ \text{ctg}x = a $.

2. Условие $ \text{cos}x \neq \frac{1}{2} $ на промежутке $ (0; \pi) $ означает, что $ x \neq \frac{\pi}{3} $.

3. Условие $ \sin x \neq 0 $ для области определения котангенса на промежутке $ (0; \pi) $ выполняется всегда.

Таким образом, задача сводится к нахождению числа решений уравнения $ \text{ctg}x = a $ на множестве $ (0; \frac{\pi}{3}) \cup (\frac{\pi}{3}; \pi) $.

Функция $ y = \text{ctg}x $ на промежутке $ (0; \pi) $ является строго убывающей, и ее область значений — все действительные числа $ (-\infty; +\infty) $. Это означает, что для любого действительного значения параметра $ a $ уравнение $ \text{ctg}x = a $ имеет ровно один корень $ x_0 $ на промежутке $ (0; \pi) $.

Теперь нужно проверить, когда этот корень $ x_0 $ совпадает со значением $ x = \frac{\pi}{3} $, которое исключено из области допустимых значений.

Найдем значение $ a $, при котором корень равен $ \frac{\pi}{3} $:

$ a = \text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Следовательно:

• Если $ a = \frac{\sqrt{3}}{3} $, то единственный корень уравнения $ \text{ctg}x = a $ на $ (0; \pi) $ это $ x = \frac{\pi}{3} $. Но это значение не является решением исходного уравнения, так как при нем знаменатель обращается в ноль. В этом случае корней нет.
• Если $ a \neq \frac{\sqrt{3}}{3} $, то единственный корень уравнения $ \text{ctg}x = a $ на $ (0; \pi) $ не равен $ \frac{\pi}{3} $ и, следовательно, является корнем исходного уравнения. В этом случае есть один корень.

Ответ: если $ a = \frac{\sqrt{3}}{3} $, то корней нет; если $ a \neq \frac{\sqrt{3}}{3} $, то один корень.