Номер 37, страница 22 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

График а:

1. определена ли эта функция в точке $x_0$
   Да, функция определена в точке $x_0$, так как на графике в этой точке есть сплошная точка. Значение функции в этой точке равно $f(x_0)$.

2. существует ли предел функции в точке $x_0$; в случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен
   Да, предел существует. Когда $x$ стремится к $x_0$ как слева, так и справа, значение функции $f(x)$ стремится к $f(x_0)$. Следовательно, предел существует и равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

3. если предел в точке $x_0$ существует, то равен ли он значению функции в этой точке
   Да, предел в точке $x_0$ равен значению функции в этой точке. Это означает, что функция непрерывна в точке $x_0$.

График б:

1. определена ли эта функция в точке $x_0$
   Да, функция определена в точке $x_0$. На графике показана сплошная точка при $x = x_0$ со значением $f(x_0)$.

2. существует ли предел функции в точке $x_0$; в случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен
   Да, предел существует. Когда $x$ стремится к $x_0$ с обеих сторон, значения функции стремятся к одной и той же величине $a$ (которой соответствует "выколотая" точка на кривой). Таким образом, предел равен $a$: $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$.

3. если предел в точке $x_0$ существует, то равен ли он значению функции в этой точке
   Нет, предел не равен значению функции в этой точке, так как $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$, а значение функции $f(x_0) \neq a$. В этой точке функция имеет устранимый разрыв.

График в:

1. определена ли эта функция в точке $x_0$
   Нет, функция не определена в точке $x_0$. На графике в этой точке изображена вертикальная асимптота.

2. существует ли предел функции в точке $x_0$; в случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен
   Нет, предел не существует. При приближении к $x_0$ слева, функция стремится к $-\infty$, а при приближении справа — к $+\infty$. Так как односторонние пределы не равны (и не являются конечными), двусторонний предел не существует.

3. если предел в точке $x_0$ существует, то равен ли он значению функции в этой точке
   Этот вопрос не применим, поскольку предел в точке $x_0$ не существует.

1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \cos 3x$

Функция $y = \cos 3x$ является непрерывной на всей числовой прямой. Поэтому для вычисления предела можно просто подставить значение $x$ в функцию:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \cos 3x = \cos(3 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) $\lim_{x \to 0} \frac{4\sqrt{x} - 3x}{x - 7\sqrt{x}}$

При подстановке $x=0$ в выражение возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы раскрыть ее, вынесем $\sqrt{x}$ за скобки в числителе и знаменателе:

$\lim_{x \to 0} \frac{4\sqrt{x} - 3(\sqrt{x})^2}{(\sqrt{x})^2 - 7\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}(4 - 3\sqrt{x})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 7)}$.

Поскольку $x \to 0$, но $x \ne 0$, мы можем сократить дробь на $\sqrt{x}$:

$\lim_{x \to 0} \frac{4 - 3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 7}$.

Теперь подставим $x=0$ в упрощенное выражение:

$\frac{4 - 3\sqrt{0}}{\sqrt{0} - 7} = \frac{4 - 0}{0 - 7} = -\frac{4}{7}$.

Ответ: $-\frac{4}{7}$.

3) $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 6x + 5}{x^2 - 25}$

При подстановке $x=5$ возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2 - 6x + 5$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=5$. Тогда $x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5)$.

Знаменатель: $x^2 - 25$. Это разность квадратов, $x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$.

Подставим разложения в предел:

$\lim_{x \to 5} \frac{(x-1)(x-5)}{(x-5)(x+5)}$.

Сократим дробь на $(x-5)$, так как $x \to 5$, но $x \ne 5$:

$\lim_{x \to 5} \frac{x-1}{x+5}$.

Теперь подставим $x=5$:

$\frac{5-1}{5+5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.