Номер 40, страница 25 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 40

Правила вычисления производных

1. Найдите производную функции:

1) $y = 3x^7 - 6x^5 - 4x^2 + 17;$

2) $y = \operatorname{tg}x + \operatorname{ctg}x;$

3) $y = \sqrt{x(3x^2 + 2)};$

4) $y = \frac{x - 1}{\sqrt{x}};$

5) $y = \sqrt[3]{x^3 - 2x};$

6) $y = x^2 \cos\frac{1}{x}.$

2. Найдите производную функции $f(x) = |x^2 - 3x|$ в точках $x_1 = -2$ и $x_2 = 1.$

1) Дана функция $y = 3x^7 - 6x^5 - 4x^2 + 17$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы. Производная константы равна нулю.
$y' = (3x^7 - 6x^5 - 4x^2 + 17)' = (3x^7)' - (6x^5)' - (4x^2)' + (17)'$
$y' = 3 \cdot 7x^{6} - 6 \cdot 5x^{4} - 4 \cdot 2x^{1} + 0$
$y' = 21x^6 - 30x^4 - 8x$
Ответ: $21x^6 - 30x^4 - 8x$.

2) Дана функция $y = \tg x + \ctg x$.
Используем производные тригонометрических функций: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
$y' = (\tg x + \ctg x)' = (\tg x)' + (\ctg x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}$
Ответ: $\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}$.

3) Дана функция $y = \sqrt{x}(3x^2 + 2)$.
Сначала упростим выражение, раскрыв скобки: $y = x^{1/2}(3x^2 + 2) = 3x^{2+1/2} + 2x^{1/2} = 3x^{5/2} + 2x^{1/2}$.
Теперь находим производную, используя правило для степенной функции:
$y' = (3x^{5/2} + 2x^{1/2})' = 3 \cdot \frac{5}{2}x^{5/2-1} + 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{15}{2}x^{3/2} + x^{-1/2}$
Преобразуем выражение, приведя к общему знаменателю:
$y' = \frac{15}{2}x\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{15x\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 2}{2\sqrt{x}} = \frac{15x^2 + 2}{2\sqrt{x}}$
Ответ: $\frac{15x^2 + 2}{2\sqrt{x}}$.

4) Дана функция $y = \frac{x-1}{\sqrt{x}}$.
Упростим функцию, разделив числитель на знаменатель почленно:
$y = \frac{x}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{1/2} - x^{-1/2}$
Теперь найдем производную:
$y' = (x^{1/2} - x^{-1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - (-\frac{1}{2})x^{-3/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{1}{2}x^{-3/2}$
Преобразуем выражение:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$
Ответ: $\frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$.

5) Дана функция $y = \sqrt[3]{x^3 - 2x}$.
Это сложная функция. Запишем ее в виде $y = (x^3 - 2x)^{1/3}$.
Используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.
В данном случае $u = x^3 - 2x$, а $n = 1/3$. Производная внутренней функции $u' = (x^3 - 2x)' = 3x^2 - 2$.
$y' = \frac{1}{3}(x^3 - 2x)^{1/3 - 1} \cdot (3x^2 - 2) = \frac{1}{3}(x^3 - 2x)^{-2/3} \cdot (3x^2 - 2)$
Запишем ответ в виде дроби:
$y' = \frac{3x^2 - 2}{3(x^3 - 2x)^{2/3}} = \frac{3x^2 - 2}{3\sqrt[3]{(x^3 - 2x)^2}}$
Ответ: $\frac{3x^2 - 2}{3\sqrt[3]{(x^3 - 2x)^2}}$.

6) Дана функция $y = x^2\cos\frac{1}{x}$.
Используем правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = x^2$ и $v = \cos\frac{1}{x}$. Тогда $u' = 2x$.
Производную $v'$ находим по цепному правилу: $v' = (\cos\frac{1}{x})' = -\sin\frac{1}{x} \cdot (\frac{1}{x})' = -\sin\frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2}\sin\frac{1}{x}$.
Теперь подставляем в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = 2x \cdot \cos\frac{1}{x} + x^2 \cdot \left(\frac{1}{x^2}\sin\frac{1}{x}\right) = 2x\cos\frac{1}{x} + \sin\frac{1}{x}$
Ответ: $2x\cos\frac{1}{x} + \sin\frac{1}{x}$.

2. Для нахождения производной функции $f(x) = |x^2 - 3x|$ в заданных точках, необходимо сначала раскрыть модуль, определив знак выражения под ним.
Выражение $x^2 - 3x = x(x-3)$ равно нулю при $x=0$ и $x=3$. Оно положительно при $x < 0$ или $x > 3$ и отрицательно при $0 < x < 3$.
Рассмотрим каждую точку:
- В точке $x_1 = -2$, которая лежит в интервале $(-\infty, 0)$, выражение $x^2 - 3x$ положительно. Следовательно, в окрестности этой точки $f(x) = x^2 - 3x$.
Производная $f'(x) = (x^2 - 3x)' = 2x - 3$.
Значение производной в точке $x_1 = -2$: $f'(-2) = 2(-2) - 3 = -7$.
- В точке $x_2 = 1$, которая лежит в интервале $(0, 3)$, выражение $x^2 - 3x$ отрицательно. Следовательно, в окрестности этой точки $f(x) = -(x^2 - 3x) = -x^2 + 3x$.
Производная $f'(x) = (-x^2 + 3x)' = -2x + 3$.
Значение производной в точке $x_2 = 1$: $f'(1) = -2(1) + 3 = 1$.
Ответ: $f'(-2) = -7$; $f'(1) = 1$.