Номер 1, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 1

Множества. Операции над множествами

1. Какие из следующих утверждений верны:

1) ${ \{9\} \in \{2, 7, 9\} }$;2) ${ 2 \in \{2, 7, 9\} }$;3) ${ \{7\} \subset \{2, 7, 9\} }$;4) ${ 7 \subset \{2, 7, 9\} }$;5) ${ \emptyset \in \{2, 7, 9\} }$;6) ${ \emptyset \subset \{2, 7, 9\} }$?

2. Какие из следующих утверждений верны:

1) ${ \{5\} \cup \{5, 6\} = \{5, 6\} }$;2) ${ \{5\} \cap \{5, 6\} = 5 }$;3) ${ \{5\} \cap \{5, 6\} = \{5\} }$;4) ${ \{5\} \cup \{5, 6\} = \{5\} }$?

3. Даны множества $A=\{x|x^2-25=0\}$ и $B=\{x|(x+5)(x-4)=0\}$. Найдите:

1) ${ A \cap B }$;2) ${ A \cup B }$;3) ${ A \setminus B }$;4) ${ B \setminus A }$.

4. На диаграмме Эйлера (рис. 8) изображены множества $A$, $B$ и $C$. Заштрихуйте множество:

1) ${ (A \cup C) \cap B }$;2) ${ (A \cap B) \setminus C }$;3) ${ (A \setminus C) \cup B }$.

1. Какие из следующих утверждений верны:

Проанализируем каждое утверждение:

1) {$9} \in \{2, 7, 9\}$

Утверждение ложно. Знак $ \in $ означает принадлежность элемента множеству. Элементами множества $ \{2, 7, 9\} $ являются числа $2$, $7$ и $9$. Символ $ \{9\} $ обозначает множество, состоящее из одного элемента $9$, а не сам элемент.

2) $2 \in \{2, 7, 9\}$

Утверждение истинно. Число $2$ является одним из элементов множества $ \{2, 7, 9\} $.

3) $\{7\} \subset \{2, 7, 9\}$

Утверждение истинно. Знак $ \subset $ означает "является подмножеством". Множество $A$ является подмножеством множества $B$, если каждый элемент $A$ также является элементом $B$. Единственный элемент множества $ \{7\} $ — это $7$, и он принадлежит множеству $ \{2, 7, 9\} $.

4) $7 \subset \{2, 7, 9\}$

Утверждение ложно. Знак $ \subset $ используется для отношений между множествами. $7$ — это число (элемент), а не множество. Правильной была бы запись $7 \in \{2, 7, 9\}$.

5) $\emptyset \in \{2, 7, 9\}$

Утверждение ложно. Пустое множество ($ \emptyset $) не является элементом множества $ \{2, 7, 9\} $.

6) $\emptyset \subset \{2, 7, 9\}$

Утверждение истинно. Пустое множество по определению является подмножеством любого множества.

Ответ: Верными являются утверждения 2), 3), 6).

2. Какие из следующих утверждений верны:

Проанализируем каждое утверждение:

1) $\{5\} \cup \{5, 6\} = \{5, 6\}$

Утверждение истинно. Объединение ($ \cup $) двух множеств — это множество, содержащее все элементы из обоих исходных множеств. Элементы $\{5\}$ и $\{5, 6\}$ вместе дают $\{5, 6\}$.

2) $\{5\} \cap \{5, 6\} = 5$

Утверждение ложно. Пересечение ($ \cap $) двух множеств — это множество, содержащее только общие для них элементы. Результатом операции над множествами всегда является множество. Правильный результат: $\{5\}$. Запись "$=5$" неверна, так как $5$ — это число, а не множество.

3) $\{5\} \cap \{5, 6\} = \{5\}$

Утверждение истинно. Единственный общий элемент для множеств $\{5\}$ и $\{5, 6\}$ — это $5$. Следовательно, их пересечение равно множеству $\{5\}$.

4) $\{5\} \cup \{5, 6\} = \{5\}$

Утверждение ложно. Как показано в пункте 1), объединение этих множеств равно $\{5, 6\}$.

Ответ: Верными являются утверждения 1), 3).

3. Даны множества $A=\{x | x^2 - 25=0\}$ и $B=\{x | (x+5)(x-4)=0\}$. Найдите:

Сначала определим элементы множеств A и B.

Для множества A решим уравнение $x^2 - 25 = 0$. $x^2 = 25$, откуда $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$. Таким образом, $A = \{-5, 5\}$.

Для множества B решим уравнение $(x+5)(x-4)=0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x+5=0$ или $x-4=0$. Отсюда $x_1 = -5$ и $x_2 = 4$. Таким образом, $B = \{-5, 4\}$.

1) $A \cap B$

Пересечение множеств A и B — это множество, содержащее элементы, которые есть в обоих множествах. $A \cap B = \{-5, 5\} \cap \{-5, 4\}$. Общим элементом является -5.

Ответ: $A \cap B = \{-5\}$.

2) $A \cup B$

Объединение множеств A и B — это множество, содержащее все элементы из обоих множеств без повторений. $A \cup B = \{-5, 5\} \cup \{-5, 4\}$.

Ответ: $A \cup B = \{-5, 4, 5\}$.

3) $A \setminus B$

Разность множеств A и B — это множество, содержащее элементы, которые есть в A, но нет в B. $A \setminus B = \{-5, 5\} \setminus \{-5, 4\}$. Из множества A удаляем общий с B элемент -5.

Ответ: $A \setminus B = \{5\}$.

4) $B \setminus A$

Разность множеств B и A — это множество, содержащее элементы, которые есть в B, но нет в A. $B \setminus A = \{-5, 4\} \setminus \{-5, 5\}$. Из множества B удаляем общий с A элемент -5.

Ответ: $B \setminus A = \{4\}$.

4. На диаграмме Эйлера (рис. 8) изображены множества A, B и C. Заштрихуйте множество:

1) $(A \cup C) \cap B$

Эта операция означает пересечение множества B с объединением множеств A и C. Заштрихованная область включает в себя все элементы, которые принадлежат множеству B и одновременно хотя бы одному из множеств A или C. Это область пересечения B с A плюс область пересечения B с C.

Ответ: Заштрихована часть множества B, которая пересекается с A или C.

2) $(A \cap B) \setminus C$

Эта операция означает разность между пересечением множеств A и B и множеством C. Заштрихованная область включает в себя все элементы, которые принадлежат одновременно и A, и B, но не принадлежат C. Это общая часть кругов A и B за вычетом той её части, которая попадает в круг C.

Ответ: Заштрихована область пересечения A и B, не входящая в C.

3) $(A \setminus C) \cup B$

Эта операция означает объединение множества B с разностью множеств A и C. Заштрихованная область включает в себя все элементы множества B, а также те элементы множества A, которые не принадлежат множеству C.

Ответ: Заштриховано всё множество B, а также та часть множества A, которая не пересекается с C.