Номер 7, страница 32 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 7

Обратная функция

1. Какие из функций являются обратимыми:

1) $y = 2x + 3;$

2) $y = x^2, D(y) = [-3; 3];$

3) $y = x^2, D(y) = (-\infty; -1]?$

2. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 5 - 4x;$

2) $y = 2 - \sqrt{x - 3}.$

3. С помощью графика функции $f$, изображённого на рисунке 9, постройте график функции $g$, обратной к функции $f$.

4. Функция $g$ является обратной к функции $f(x) = x^5 + x + 32$. Решите уравнение $f(x) = g(x)$.

Рис. 9

1. Какие из функций являются обратимыми:

Функция является обратимой тогда и только тогда, когда она строго монотонна на всей своей области определения (то есть либо строго возрастает, либо строго убывает). Проверим каждую функцию:

1) $y = 2x + 3$
Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом $k=2$. Она является строго возрастающей на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Следовательно, эта функция обратима.

2) $y = x^2$, $D(y) = [-3; 3]$
Это квадратичная функция, график которой — парабола. На заданном интервале $[-3; 3]$, который включает в себя вершину параболы в точке $x=0$, функция не является монотонной. Она убывает на отрезке $[-3; 0]$ и возрастает на отрезке $[0; 3]$. Поскольку нет строгой монотонности на всей области определения, функция не является обратимой. Например, $f(-2) = (-2)^2 = 4$ и $f(2) = 2^2 = 4$.

3) $y = x^2$, $D(y) = (-\infty; -1]$
На этой области определения, которая является частью левой ветви параболы (вершина в точке $x=0$ не входит в интервал), функция $y = x^2$ является строго убывающей. Поскольку функция строго монотонна на своей области определения, она обратима.

Ответ: Обратимыми являются функции 1) и 3).

2. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 5 - 4x$

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = 5 - 4x$:

$4x = 5 - y$

$x = \frac{5 - y}{4}$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы записать обратную функцию в стандартном виде:

$y = \frac{5 - x}{4}$

Ответ: $y = \frac{5 - x}{4}$.

2) $y = 2 - \sqrt{x - 3}$

Сначала определим область определения и область значений исходной функции.

Область определения $D(y)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x - 3 \ge 0$, следовательно, $x \ge 3$. $D(y) = [3; +\infty)$.

Область значений $E(y)$: поскольку $\sqrt{x-3} \ge 0$, то $-\sqrt{x-3} \le 0$, и $y = 2 - \sqrt{x-3} \le 2$. $E(y) = (-\infty; 2]$.

Теперь выразим $x$ через $y$ из исходного уравнения:

$y = 2 - \sqrt{x - 3}$

$\sqrt{x - 3} = 2 - y$

Возведём обе части в квадрат (учитывая, что $2 - y \ge 0$, что совпадает с областью значений):

$x - 3 = (2 - y)^2$

$x = (2 - y)^2 + 3$

Поменяем местами $x$ и $y$ для получения обратной функции:

$y = (2 - x)^2 + 3$

Областью определения обратной функции является область значений исходной функции, то есть $x \in (-\infty; 2]$.

Ответ: $y = (2 - x)^2 + 3$, при $x \le 2$.

3. С помощью графика функции f, изображённого на рисунке 9, постройте график функции g, обратной к функции f.

График обратной функции $g(x)$ симметричен графику исходной функции $f(x)$ относительно прямой $y = x$. Чтобы построить график $g(x)$, нужно:

1. Провести прямую $y = x$ на той же координатной плоскости.
2. Выбрать несколько ключевых точек на графике $f(x)$. По графику можно определить точки $A(-3, 1)$ и $B(1, 2)$.
3. Для каждой точки $(a, b)$ с графика $f(x)$ найти соответствующую точку $(b, a)$ для графика $g(x)$. Так, точкам $A(-3, 1)$ и $B(1, 2)$ будут соответствовать точки $A'(1, -3)$ и $B'(2, 1)$.
4. Построить найденные точки ($A'$, $B'$ и т.д.) и соединить их плавной кривой. Эта кривая и будет графиком функции $g(x)$.

Полученный график $g(x)$ является отражением графика $f(x)$ через прямую $y=x$.

Ответ: Построение графика функции $g$ заключается в симметричном отражении графика функции $f$ относительно прямой $y=x$, как описано выше.

4. Функция g является обратной к функции $f(x) = x^5 + x + 32$. Решите уравнение $f(x) = g(x)$.

Если функция $f(x)$ строго монотонна, то точки пересечения её графика с графиком обратной функции $g(x) = f^{-1}(x)$ лежат на прямой $y=x$. В этих точках выполняется условие $f(x) = x$.

Проверим функцию $f(x) = x^5 + x + 32$ на монотонность. Найдём её производную:

$f'(x) = (x^5 + x + 32)' = 5x^4 + 1$

Так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $f'(x) = 5x^4 + 1 \ge 1$. Поскольку производная всегда положительна, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Следовательно, уравнение $f(x) = g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = x$. Решим его:

$x^5 + x + 32 = x$

$x^5 + 32 = 0$

$x^5 = -32$

$x = \sqrt[5]{-32}$

$x = -2$

Ответ: $x = -2$.