Номер 14, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 14

Степень с рациональным показателем и её свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $8^{\frac{1}{3}}$

2) $32^{-\frac{2}{5}}$

3) $(12\frac{1}{4})^{1,5}$

2. Найдите область определения функции:

1) $y = (x-2)^{3,4}$

2) $y = (5-4x-x^2)^{\frac{1}{7}}$

3. Упростите выражение:

1) $x^{-1,3} \cdot x^{2,5}$

2) $x^{\frac{7}{12}} : x^{\frac{5}{8}}$

3) $(x^{-6})^{0,6}$

4) $(x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{9}})^{\frac{18}{25}}$

5) $(\sqrt[4]{a^{-3}})^9 \cdot (a^9)^{\frac{3}{16}}$

4. Постройте график функции $y = ((x-1)^{\frac{1}{9}})^{-9}$

5. Упростите выражение $\frac{x^6 - 1}{2x^6 - 6} - \frac{1}{x^6} + \frac{3x^6 - x^3 - 6}{2x^3 - 6x^6}$

1. Найдите значение выражения:

1) Чтобы найти значение выражения $8^{\frac{1}{3}}$, нужно извлечь кубический корень из 8.
$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.
Ответ: 2.

2) Чтобы найти значение выражения $32^{\frac{2}{5}}$, можно сначала извлечь корень пятой степени из 32, а затем возвести результат во вторую степень.
$32^{\frac{2}{5}} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4$, так как $2^5 = 32$.
Ответ: 4.

3) Сначала представим смешанное число и десятичную дробь в виде обыкновенных дробей.
$12\frac{1}{4} = \frac{49}{4}$
$1,5 = \frac{3}{2}$
Теперь вычислим значение выражения:
$(12\frac{1}{4})^{1,5} = (\frac{49}{4})^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{\frac{49}{4}})^3 = (\frac{7}{2})^3 = \frac{7^3}{2^3} = \frac{343}{8}$.
Ответ: $\frac{343}{8}$.

2. Найдите область определения функции:

1) Функция $y = (x - 2)^{3,4}$. Показатель степени $3,4$ является рациональным, но не целым числом. По определению, степенная функция с таким показателем определена для неотрицательных значений основания.
Следовательно, должно выполняться условие: $x - 2 \ge 0$.
$x \ge 2$.
Область определения: $[2; +\infty)$.
Ответ: $[2; +\infty)$.

2) Функция $y = (5 - 4x - x^2)^{\frac{1}{7}}$. Показатель степени $\frac{1}{7}$ является рациональным числом. Несмотря на то, что корень седьмой степени определен для любых действительных чисел, по стандартному определению степенной функции с рациональным показателем основание должно быть неотрицательным.
Требуется, чтобы $5 - 4x - x^2 \ge 0$.
Умножим неравенство на -1 и изменим знак: $x^2 + 4x - 5 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.
Графиком функции $f(x) = x^2 + 4x - 5$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $f(x) \le 0$ выполняется между корнями (включая корни).
Таким образом, $-5 \le x \le 1$.
Область определения: $[-5; 1]$.
Ответ: $[-5; 1]$.

3. Упростите выражение:

1) При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$x^{-1,3} \cdot x^{2,5} = x^{-1,3 + 2,5} = x^{1,2}$.
Ответ: $x^{1,2}$.

2) При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя:
$x^{\frac{7}{12}} : x^{\frac{5}{8}} = x^{\frac{7}{12} - \frac{5}{8}} = x^{\frac{14}{24} - \frac{15}{24}} = x^{-\frac{1}{24}}$.
Ответ: $x^{-\frac{1}{24}}$.

3) При возведении степени в степень показатели перемножаются:
$(x^{-6})^{0,6} = x^{-6 \cdot 0,6} = x^{-3,6}$.
Ответ: $x^{-3,6}$.

4) При возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель:
$(x^{\frac{2}{3}} y^9)^{\frac{18}{25}} = (x^{\frac{2}{3}})^{\frac{18}{25}} \cdot (y^9)^{\frac{18}{25}} = x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{18}{25}} \cdot y^{9 \cdot \frac{18}{25}} = x^{\frac{12}{25}} y^{\frac{162}{25}}$.
Ответ: $x^{\frac{12}{25}} y^{\frac{162}{25}}$.

5) Сначала преобразуем каждый множитель, используя свойства степени, а затем перемножим результаты.
$(\sqrt[4]{a^{-3}})^{\frac{4}{9}} = (a^{-\frac{3}{4}})^{\frac{4}{9}} = a^{-\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9}} = a^{-\frac{3}{9}} = a^{-\frac{1}{3}}$.
$(a^{\frac{8}{9}})^{\frac{3}{16}} = a^{\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{16}} = a^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{6}}$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$a^{-\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}} = a^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = a^{-\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = a^{-\frac{1}{6}}$.
Ответ: $a^{-\frac{1}{6}}$.

4. Постройте график функции $y = ((x - 1)^{\frac{1}{9}})^{-9}$

Сначала упростим формулу функции:
$y = ((x - 1)^{\frac{1}{9}})^{-9} = (x - 1)^{\frac{1}{9} \cdot (-9)} = (x - 1)^{-1} = \frac{1}{x-1}$.
Область определения функции: $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
График этой функции — гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу вправо по оси Ox.
Описание графика:
1. График имеет вертикальную асимптоту — прямую $x=1$.
2. График имеет горизонтальную асимптоту — прямую $y=0$ (ось абсцисс).
3. График состоит из двух ветвей.
4. Одна ветвь расположена в первой координатной четверти относительно асимптот (при $x > 1$), проходит через точки $(2, 1)$, $(3, 1/2)$, $(1.5, 2)$.
5. Вторая ветвь расположена в третьей координатной четверти относительно асимптот (при $x < 1$), проходит через точки $(0, -1)$, $(-1, -1/2)$, $(0.5, -2)$.
Ответ: Графиком является гипербола $y = \frac{1}{x-1}$ с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

5. Упростите выражение $\frac{x^{\frac{1}{6}} - 1}{2x^{\frac{1}{6}} - 6} - \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}} + \frac{3x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{3}} - 6}{2x^{\frac{1}{3}} - 6x^{\frac{1}{6}}}$

Для упрощения введем замену: пусть $a = x^{\frac{1}{6}}$. Тогда $a^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2 = x^{\frac{1}{3}}$.
Выражение примет вид:
$\frac{a - 1}{2a - 6} - \frac{1}{a} + \frac{3a - a^2 - 6}{2a^2 - 6a}$
Разложим знаменатели на множители:
$\frac{a - 1}{2(a - 3)} - \frac{1}{a} + \frac{3a - a^2 - 6}{2a(a - 3)}$
Приведем все дроби к общему знаменателю $2a(a - 3)$:
$\frac{a(a - 1)}{2a(a - 3)} - \frac{2(a - 3)}{2a(a - 3)} + \frac{3a - a^2 - 6}{2a(a - 3)}$
Объединим дроби:
$\frac{a(a - 1) - 2(a - 3) + (3a - a^2 - 6)}{2a(a - 3)}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{a^2 - a - 2a + 6 + 3a - a^2 - 6}{2a(a - 3)} = \frac{(a^2 - a^2) + (-a - 2a + 3a) + (6 - 6)}{2a(a - 3)} = \frac{0}{2a(a - 3)} = 0$.
Данное равенство верно при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $a \neq 0$ и $a \neq 3$.
Ответ: 0.