Номер 18, страница 37 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 18

Радианная мера угла

1. Найдите радианную меру угла, равного:

1) $12^\circ$; 2) $330^\circ$.

2. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

1) $\frac{\pi}{20}$; 2) $1\frac{2}{3}\pi$.

3. В какой координатной четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0(1; 0)$ на угол:

1) $283^\circ$; 2) $\frac{\pi}{9}$; 3) $-\frac{4\pi}{3}$; 4) $-4$?

4. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0(0; -1)$, чтобы получить точку:

1) $P_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$; 2) $P_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$.

5. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0(1; 0)$ на углы:

1) $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; 2) $\frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

1. Найдите радианную меру угла, равного:

1) 12°

Для перевода градусов в радианы используется формула: $ \alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180°} $.
Подставим значение угла в градусах в формулу:
$ 12° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{12\pi}{180} $.
Сократим дробь на 12:
$ \frac{12\pi}{180} = \frac{\pi}{15} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{15} $.

2) 330°

Используем ту же формулу для перевода градусов в радианы:
$ 330° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{330\pi}{180} $.
Сократим дробь на 10, а затем на 3:
$ \frac{33\pi}{18} = \frac{11\pi}{6} $.
Ответ: $ \frac{11\pi}{6} $.

2. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

1) $ \frac{\pi}{20} $

Для перевода радиан в градусы используется формула: $ \alpha_{\text{град}} = \alpha_{\text{рад}} \cdot \frac{180°}{\pi} $.
Подставим значение угла в радианах в формулу:
$ \frac{\pi}{20} \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{180°}{20} = 9° $.
Ответ: $ 9° $.

2) $ 1\frac{2}{3}\pi $

Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$ 1\frac{2}{3}\pi = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3}\pi = \frac{5}{3}\pi = \frac{5\pi}{3} $.
Теперь переведем радианы в градусы:
$ \frac{5\pi}{3} \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{5 \cdot 180°}{3} = 5 \cdot 60° = 300° $.
Ответ: $ 300° $.

3. В какой координатной четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $ P_0(1; 0) $ на угол:

1) 283°

Координатные четверти определяются следующими диапазонами углов:
I четверть: $ 0° < \alpha < 90° $
II четверть: $ 90° < \alpha < 180° $
III четверть: $ 180° < \alpha < 270° $
IV четверть: $ 270° < \alpha < 360° $
Угол $ 283° $ удовлетворяет условию $ 270° < 283° < 360° $, следовательно, точка находится в IV координатной четверти.
Ответ: в IV четверти.

2) $ \frac{\pi}{9} $

Сравним угол с границами четвертей в радианах:
I четверть: $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $
Так как $ 0 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{2} $ (поскольку $ \frac{1}{9} < \frac{1}{2} $), точка находится в I координатной четверти.
Ответ: в I четверти.

3) $ -\frac{4\pi}{3} $

Отрицательный угол означает поворот по часовой стрелке. Найдем соответствующий положительный угол, прибавив $ 2\pi $ (полный оборот):
$ -\frac{4\pi}{3} + 2\pi = -\frac{4\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.
Сравним полученный угол с границами четвертей: $ \frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi $ (поскольку $ \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < 1 $). Это соответствует II координатной четверти.
Ответ: во II четверти.

4) -4

Угол дан в радианах. Используем приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $.
Границы четвертей в радианах: $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57; \pi \approx 3.14; \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $.
Найдем положительный угол, эквивалентный -4 радианам: $ -4 + 2\pi \approx -4 + 2 \cdot 3.14 = -4 + 6.28 = 2.28 $ радиан.
Сравним $ 2.28 $ с границами: $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 2.28 < 3.14 \approx \pi $.
Угол находится во II координатной четверти.
Ответ: во II четверти.

4. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $ P_0(0; -1) $, чтобы получить точку:

Начальная точка $ P_0(0; -1) $ соответствует углу $ \alpha_0 = -\frac{\pi}{2} $ или $ \alpha_0 = \frac{3\pi}{2} $. Угол поворота $ \beta $ находится как разность конечного угла $ \alpha_f $ и начального угла $ \alpha_0 $: $ \beta = \alpha_f - \alpha_0 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

1) $ P_1(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}) $

Найдем угол $ \alpha_1 $, соответствующий точке $ P_1 $.
$ \cos(\alpha_1) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\alpha_1) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Это соответствует углу в IV четверти: $ \alpha_1 = -\frac{\pi}{4} $ (или $ \frac{7\pi}{4} $).
Найдем угол поворота $ \beta $:
$ \beta = \alpha_1 - \alpha_0 + 2\pi k = -\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{2}) + 2\pi k = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ P_2(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}) $

Найдем угол $ \alpha_2 $, соответствующий точке $ P_2 $.
$ \cos(\alpha_2) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin(\alpha_2) = \frac{1}{2} $.
Это соответствует углу во II четверти: $ \alpha_2 = \frac{5\pi}{6} $.
Найдем угол поворота $ \beta $:
$ \beta = \alpha_2 - \alpha_0 + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} - \frac{3\pi}{2} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} - \frac{9\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{4\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

5. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $ P_0(1; 0) $ на углы:

Координаты точки, полученной поворотом $ P_0(1; 0) $ на угол $ \alpha $, равны $ (\cos \alpha; \sin \alpha) $.

1) $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Слагаемое $ 2\pi k $ означает целое число полных оборотов и не влияет на конечное положение точки. Поэтому достаточно найти координаты для угла $ \alpha = -\frac{\pi}{6} $.
$ x = \cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ y = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} $
Координаты точки: $ (\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}) $.
Ответ: $ (\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}) $.

2) $ \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $

В этом случае положение точки зависит от целого числа $ k $. Найдем координаты для различных значений $ k $.
При $ k=0 $: угол $ \alpha = 0 $. Координаты: $ (\cos 0; \sin 0) = (1; 0) $.
При $ k=1 $: угол $ \alpha = \frac{2\pi}{3} $. Координаты: $ (\cos \frac{2\pi}{3}; \sin \frac{2\pi}{3}) = (-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}) $.
При $ k=2 $: угол $ \alpha = \frac{4\pi}{3} $. Координаты: $ (\cos \frac{4\pi}{3}; \sin \frac{4\pi}{3}) = (-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}) $.
При $ k=3 $: угол $ \alpha = \frac{6\pi}{3} = 2\pi $, что соответствует углу 0. Точка совпадает с точкой для $ k=0 $.
Таким образом, мы получаем три различные точки.
Ответ: $ (1; 0), (-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}), (-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}) $.