Номер 24, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 24

Основные соотношения между

тригонометрическими функциями одного

и того же аргумента

1. Упростите выражение:

1) $\cos^2 \frac{\alpha}{4} + \sin^2 \frac{\alpha}{4} - \frac{1}{\sin^2 5\beta}$;

2) $\text{ctg}^2 2\alpha + \text{tg } 6\alpha \text{ctg } 6\alpha$;

3) $\frac{1 + \text{ctg}^2 2\alpha(\cos^2 2\alpha - 1)}{\sin^2 2\alpha}$.

2. Вычислите значения тригонометрических функций угла $\beta$, если $\text{tg}\beta = -3$ и $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $\sin^2 \alpha - 4\cos^2 \alpha$;

2) $6\cos^2 \alpha - 3\text{tg}^2 \alpha \cos^2 \alpha$.

4. Упростите выражение $\sqrt{\sin^2 \alpha(1 - \text{ctg} \alpha) + \cos^2 \alpha(1 - \text{tg} \alpha)}$,

если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

1. Упростите выражение:

1) Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. Для аргумента $\frac{\alpha}{4}$ оно выглядит как $\cos^2 \frac{\alpha}{4} + \sin^2 \frac{\alpha}{4} = 1$.
Подставим это в исходное выражение:
$\cos^2 \frac{\alpha}{4} + \sin^2 \frac{\alpha}{4} - \frac{1}{\sin^2 5\beta} = 1 - \frac{1}{\sin^2 5\beta}$
Приведем к общему знаменателю:
$1 - \frac{1}{\sin^2 5\beta} = \frac{\sin^2 5\beta - 1}{\sin^2 5\beta}$
Из основного тождества следует, что $\sin^2 5\beta - 1 = -\cos^2 5\beta$.
$\frac{-\cos^2 5\beta}{\sin^2 5\beta} = -ctg^2 5\beta$
Ответ: $-ctg^2 5\beta$.

2) Используем тождество $tg x \cdot ctg x = 1$. Для аргумента $6\alpha$ оно выглядит как $tg 6\alpha \cdot ctg 6\alpha = 1$.
Подставим это в исходное выражение:
$ctg^2 2\alpha + tg 6\alpha \cdot ctg 6\alpha = ctg^2 2\alpha + 1$
Используем тождество $1 + ctg^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$.
$ctg^2 2\alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 2\alpha}$
Ответ: $\frac{1}{\sin^2 2\alpha}$.

3) Сначала упростим выражение в скобках в числителе, используя основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 2\alpha - 1 = -\sin^2 2\alpha$.
Подставим это в числитель:
$1 + ctg^2 2\alpha (\cos^2 2\alpha - 1) = 1 + ctg^2 2\alpha (-\sin^2 2\alpha)$
Заменим $ctg^2 2\alpha$ на $\frac{\cos^2 2\alpha}{\sin^2 2\alpha}$:
$1 + \frac{\cos^2 2\alpha}{\sin^2 2\alpha} (-\sin^2 2\alpha) = 1 - \cos^2 2\alpha$
Снова используя основное тождество, получаем $1 - \cos^2 2\alpha = \sin^2 2\alpha$.
Теперь все выражение принимает вид:
$\frac{\sin^2 2\alpha}{\sin^2 2\alpha} = 1$
Ответ: $1$.

2. Вычислите значения тригонометрических функций угла β, если $tg\beta = -3$ и $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$.

Условие $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ означает, что угол $\beta$ находится во второй четверти. В этой четверти $\sin\beta > 0$, а $\cos\beta < 0$.
1. Найдем $ctg\beta$:
$ctg\beta = \frac{1}{tg\beta} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$.
2. Найдем $\cos\beta$ из тождества $1 + tg^2\beta = \frac{1}{\cos^2\beta}$:
$1 + (-3)^2 = \frac{1}{\cos^2\beta} \implies 1 + 9 = \frac{1}{\cos^2\beta} \implies 10 = \frac{1}{\cos^2\beta} \implies \cos^2\beta = \frac{1}{10}$.
Так как $\beta$ во второй четверти, $\cos\beta < 0$, поэтому $\cos\beta = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.
3. Найдем $\sin\beta$ из тождества $tg\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$:
$\sin\beta = tg\beta \cdot \cos\beta = (-3) \cdot (-\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.
Проверяем знак: $\sin\beta > 0$, что соответствует второй четверти.
Ответ: $\sin\beta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\cos\beta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $ctg\beta = -\frac{1}{3}$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $\sin^2\alpha - 4\cos^2\alpha$
Используем тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ для выражения через одну функцию:
$\sin^2\alpha - 4(1 - \sin^2\alpha) = \sin^2\alpha - 4 + 4\sin^2\alpha = 5\sin^2\alpha - 4$.
Значения $\sin^2\alpha$ лежат в диапазоне $[0, 1]$.
Наименьшее значение достигается при $\sin^2\alpha = 0$: $5 \cdot 0 - 4 = -4$.
Наибольшее значение достигается при $\sin^2\alpha = 1$: $5 \cdot 1 - 4 = 1$.
Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-4$.

2) $6\cos^2\alpha - 3tg^2\alpha\cos^2\alpha$
Заменим $tg^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$:
$6\cos^2\alpha - 3\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\cos^2\alpha = 6\cos^2\alpha - 3\sin^2\alpha$.
Используем тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ для выражения через одну функцию:
$6\cos^2\alpha - 3(1 - \cos^2\alpha) = 6\cos^2\alpha - 3 + 3\cos^2\alpha = 9\cos^2\alpha - 3$.
Значения $\cos^2\alpha$ лежат в диапазоне $[0, 1]$.
Наименьшее значение достигается при $\cos^2\alpha = 0$: $9 \cdot 0 - 3 = -3$.
Наибольшее значение достигается при $\cos^2\alpha = 1$: $9 \cdot 1 - 3 = 6$.
Ответ: наибольшее значение $6$, наименьшее значение $-3$.

4. Упростите выражение $\sqrt{\sin^2\alpha(1 - ctg\alpha) + \cos^2\alpha(1 - tg\alpha)}$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Сначала упростим подкоренное выражение, заменив $ctg\alpha$ и $tg\alpha$ через синус и косинус:
$\sin^2\alpha(1 - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}) + \cos^2\alpha(1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})$
Раскроем скобки:
$\sin^2\alpha - \sin^2\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \cos^2\alpha - \cos^2\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha - \cos\alpha\sin\alpha$
Сгруппируем слагаемые:
$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha$
Используя основное тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем $1 - \sin(2\alpha)$.
Выражение также можно представить как полный квадрат: $\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = (\sin\alpha - \cos\alpha)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно:
$\sqrt{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2} = |\sin\alpha - \cos\alpha|$.
По условию $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй четверти. В этой четверти $\sin\alpha > 0$, а $\cos\alpha < 0$.
Следовательно, разность $\sin\alpha - \cos\alpha$ будет разностью положительного и отрицательного числа: $(\text{положительное}) - (\text{отрицательное}) = \text{положительное}$.
Так как выражение $\sin\alpha - \cos\alpha$ положительно, модуль можно опустить:
$|\sin\alpha - \cos\alpha| = \sin\alpha - \cos\alpha$.
Ответ: $\sin\alpha - \cos\alpha$.