Номер 30, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 30

Уравнение $ \sin x = b $

1. Решите уравнение:

1) $ 2\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) + 1 = 0; $

2) $ \sqrt{3} + 2\sin(4 - 9x) = 0; $

3) $ \sin(6x - 7) = -\frac{\pi}{8}; $

4) $ \sqrt{3} \cos x + \sin x = \sqrt{2}. $

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения $ 3\sin\left(4x - \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0 $.

3. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $ \sin x(\cos x - a) = 0 $ на промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $?

1. Решите уравнение:

1) $2\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) + 1 = 0$
Перенесем 1 в правую часть и разделим на 2, чтобы выразить синус:
$2\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) = -1$
$\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$
Общее решение уравнения $\sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 3x + \frac{\pi}{3}$ и $a = -\frac{1}{2}$.
$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставляем в общую формулу:
$3x + \frac{\pi}{3} = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k$
$3x + \frac{\pi}{3} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$
Теперь выразим $x$:
$3x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi k$
$x = \frac{1}{3} \left( (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi k \right)$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{18} - \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{18} - \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{3} + 2\sin(4 - 9x) = 0$
Выразим синус:
$2\sin(4 - 9x) = -\sqrt{3}$
$\sin(4 - 9x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Используем свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$:
$-\sin(9x - 4) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(9x - 4) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение:
$9x - 4 = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, получаем:
$9x - 4 = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$
Выразим $x$:
$9x = 4 + (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$
$x = \frac{4}{9} + (-1)^k \frac{\pi}{27} + \frac{\pi k}{9}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{4}{9} + \frac{(-1)^k \pi}{27} + \frac{\pi k}{9}$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin(6x - 7) = -\frac{\pi}{8}$
Уравнение вида $\sin(t) = a$ имеет решение только при $|a| \le 1$.
Проверим это условие для $a = -\frac{\pi}{8}$.
$|\-\frac{\pi}{8}| = \frac{\pi}{8}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{8} \approx \frac{3.14}{8} \approx 0.39$.
Поскольку $0.39 < 1$, уравнение имеет решения.
Общее решение:
$6x - 7 = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{\pi}{8}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Используем свойство $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$:
$6x - 7 = (-1)^k \left(-\arcsin\left(\frac{\pi}{8}\right)\right) + \pi k$
$6x - 7 = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{\pi}{8}\right) + \pi k$
Выразим $x$:
$6x = 7 + (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{\pi}{8}\right) + \pi k$
$x = \frac{7}{6} + \frac{(-1)^{k+1}}{6} \arcsin\left(\frac{\pi}{8}\right) + \frac{\pi k}{6}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{7}{6} + \frac{(-1)^{k+1}}{6} \arcsin\left(\frac{\pi}{8}\right) + \frac{\pi k}{6}$, $k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sqrt{3} \cos x + \sin x = \sqrt{2}$
Это уравнение вида $a \cos x + b \sin x = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ и $\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
Подставим эти значения в уравнение:
$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos x + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Применим формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$:
$\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Общее решение для косинуса:
$x - \frac{\pi}{6} = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
Рассмотрим два случая:
1) $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$
2) $x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k$
Ответ: $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$, $x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения $3\sin\left(4x - \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$.
Сначала решим уравнение:
$3\sin\left(4x - \frac{\pi}{6}\right) = -1$
$\sin\left(4x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{3}$
Решение этого уравнения можно записать в виде двух серий:
1) $4x - \frac{\pi}{6} = \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k = -\arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$
2) $4x - \frac{\pi}{6} = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k = \pi + \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$
Выразим $x$ из каждой серии. Обозначим $\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)$. Заметим, что $0 < \alpha < \frac{\pi}{6}$, так как $\sin(0) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.
1) $4x = \frac{\pi}{6} - \alpha + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{24} - \frac{\alpha}{4} + \frac{\pi k}{2}$
2) $4x = \frac{7\pi}{6} + \alpha + 2\pi k \implies x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\alpha}{4} + \frac{\pi k}{2}$
Теперь найдем наименьший положительный корень, перебирая целые значения $k$.
Для первой серии:
При $k=0$: $x = \frac{\pi}{24} - \frac{\alpha}{4}$. Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{6}$, то $0 < \frac{\alpha}{4} < \frac{\pi}{24}$. Следовательно, $x > 0$. Это положительный корень.
При $k=1$: $x = \frac{\pi}{24} - \frac{\alpha}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{13\pi}{24} - \frac{\alpha}{4}$. Этот корень больше предыдущего.
Для второй серии:
При $k=0$: $x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\alpha}{4}$. Этот корень очевидно положителен.
При $k=-1$: $x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\alpha}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{24} + \frac{\alpha}{4}$. Так как $\frac{\alpha}{4} < \frac{\pi}{24}$, этот корень отрицателен.
Сравним наименьшие положительные корни из каждой серии: $\frac{\pi}{24} - \frac{\alpha}{4}$ и $\frac{7\pi}{24} + \frac{\alpha}{4}$.
Очевидно, что $\frac{\pi}{24} - \frac{\alpha}{4}$ меньше.
Таким образом, наименьший положительный корень равен $\frac{\pi}{24} - \frac{1}{4}\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)$.
Ответ: $\frac{\pi}{24} - \frac{1}{4}\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)$.

3. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $\sin x(\cos x - a) = 0$ на промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$?
Данное уравнение распадается на два:
1) $\sin x = 0$
2) $\cos x - a = 0 \implies \cos x = a$
Нам нужно найти количество различных корней на промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.
1) Решим уравнение $\sin x = 0$ на $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.
Единственным корнем является $x = 0$. Этот корень существует при любом значении параметра $a$.
2) Решим уравнение $\cos x = a$ на $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.
На этом промежутке функция $\cos x$ принимает значения от 0 до 1. То есть $0 \le \cos x \le 1$.
Проанализируем количество корней в зависимости от $a$:

• Если $a < 0$ или $a > 1$, уравнение $\cos x = a$ не имеет корней на данном промежутке.
• Если $a = 1$, уравнение $\cos x = 1$ имеет один корень $x = 0$.
• Если $a = 0$, уравнение $\cos x = 0$ имеет два корня $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.
• Если $0 < a < 1$, уравнение $\cos x = a$ имеет два корня: $x = \arccos(a)$ и $x = -\arccos(a)$. Оба корня принадлежат интервалу $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ и не равны нулю.

• При $a < 0$ или $a > 1$:
  $\sin x = 0$ дает корень $x=0$.
  $\cos x = a$ корней не имеет.
  Всего 1 корень.
• При $a = 1$:
  $\sin x = 0$ дает корень $x=0$.
  $\cos x = 1$ дает корень $x=0$.
  Корень совпадает, поэтому всего 1 корень.
• При $a = 0$:
  $\sin x = 0$ дает корень $x=0$.
  $\cos x = 0$ дает корни $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = -\frac{\pi}{2}$.
  Все три корня различны, поэтому всего 3 корня.
• При $0 < a < 1$:
  $\sin x = 0$ дает корень $x=0$.
  $\cos x = a$ дает корни $x = \arccos(a)$ и $x = -\arccos(a)$.
  Все три корня различны, так как $\arccos(a) \neq 0$ для $a < 1$. Всего 3 корня.

Сгруппируем результаты:
- Если $a < 0$ или $a \ge 1$, уравнение имеет 1 корень.
- Если $0 \le a < 1$, уравнение имеет 3 корня.
Ответ: если $a \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$, то 1 корень; если $a \in [0, 1)$, то 3 корня.