Номер 29, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 29

Уравнение $ \cos x = b $

1. Решите уравнение:

1) $ \cos 6x = 1; $

2) $ \cos(2 - 5x) = \frac{1}{2}; $

3) $ \cos \frac{3\pi x}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}; $

4) $ \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{3}; $

5) $ 3\cos \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) - 1 = 0. $

2. Найдите все корни уравнения $ \cos \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, удовлетворяющие неравенству $ -\frac{\pi}{16} < x < \frac{7\pi}{16} $.

3. Определите количество корней уравнения $ \cos x = a $ на промежутке $ \left[-\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right] $ в зависимости от значения параметра $ a $.

1.

1) $ \cos(6x) = 1 $

Это частный случай уравнения $ \cos(t) = 1 $, решение которого $ t = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ 6x = 2\pi n $

$ x = \frac{2\pi n}{6} $

$ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

2) $ \cos(2 - 5x) = \frac{1}{2} $

По общей формуле решения уравнения $ \cos(t) = a $: $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

$ 2 - 5x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n $

$ 2 - 5x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ -5x = -2 \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ 5x = 2 \mp \frac{\pi}{3} - 2\pi n $

$ x = \frac{2}{5} \mp \frac{\pi}{15} - \frac{2\pi n}{5} $

Поскольку $ n $ может быть любым целым числом, $ -n $ также может быть любым целым числом. Заменим $ -n $ на $ k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Знак $ \mp $ можно заменить на $ \pm $, так как оба случая рассматриваются.

$ x = \frac{2}{5} \pm \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{2}{5} \pm \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $

3) $ \cos(\frac{3\pi x}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \frac{3\pi x}{4} = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ \frac{3\pi x}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n $

Умножим обе части на $ \frac{4}{3\pi} $:

$ x = \frac{4}{3\pi} \left( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) $

$ x = \pm \frac{4\pi}{18\pi} + \frac{8\pi n}{3\pi} $

$ x = \pm \frac{2}{9} + \frac{8n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \frac{2}{9} + \frac{8n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

4) $ \cos(2x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{3} $

Область значений функции косинус $ y = \cos(t) $ есть отрезок $ [-1, 1] $.

Значение $ -\frac{\pi}{3} \approx -\frac{3.14159}{3} \approx -1.047 $. Поскольку $ -1.047 < -1 $, правая часть уравнения не входит в область значений косинуса.

Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Корней нет.

5) $ 3\cos(2x - \frac{\pi}{3}) - 1 = 0 $

Преобразуем уравнение:

$ 3\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 1 $

$ \cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{3} $

$ 2x - \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ 2x = \frac{\pi}{3} \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n $

$ x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{1}{2}\arccos(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{1}{2}\arccos(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

2.

Сначала решим уравнение $ \cos(4x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ 4x - \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ 4x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n $

Это дает две серии корней:

1) $ 4x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n \implies x_1 = \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi n}{2} $

2) $ 4x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n \implies x_2 = \frac{\pi}{48} + \frac{\pi n}{2} $

Теперь найдем корни, удовлетворяющие неравенству $ -\frac{\pi}{16} < x < \frac{7\pi}{16} $. Приведем дроби к общему знаменателю 48: $ -\frac{3\pi}{48} < x < \frac{21\pi}{48} $.

Для первой серии корней:

$ -\frac{3\pi}{48} < \frac{7\pi}{48} + \frac{24\pi n}{48} < \frac{21\pi}{48} $

$ -3 < 7 + 24n < 21 $

$ -10 < 24n < 14 $

$ -\frac{10}{24} < n < \frac{14}{24} \implies -\frac{5}{12} < n < \frac{7}{12} $

Единственное целое значение $ n $, удовлетворяющее этому неравенству, это $ n=0 $. При $ n=0 $ корень равен $ x = \frac{7\pi}{48} $.

Для второй серии корней:

$ -\frac{3\pi}{48} < \frac{\pi}{48} + \frac{24\pi n}{48} < \frac{21\pi}{48} $

$ -3 < 1 + 24n < 21 $

$ -4 < 24n < 20 $

$ -\frac{4}{24} < n < \frac{20}{24} \implies -\frac{1}{6} < n < \frac{5}{6} $

Единственное целое значение $ n $ здесь также $ n=0 $. При $ n=0 $ корень равен $ x = \frac{\pi}{48} $.

Оба корня $ \frac{\pi}{48} $ и $ \frac{7\pi}{48} $ удовлетворяют заданному неравенству.

Ответ: $ \frac{\pi}{48}; \frac{7\pi}{48} $.

3.

Рассмотрим функцию $ f(x) = \cos x $ на промежутке $ \left[-\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right] $.

Найдем значения функции на концах промежутка:

$ f(-\frac{2\pi}{3}) = \cos(-\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $

$ f(\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

На промежутке $ [-\frac{2\pi}{3}, 0] $ функция $ \cos x $ возрастает от $ -\frac{1}{2} $ до $ \cos(0)=1 $.

На промежутке $ [0, \frac{\pi}{6}] $ функция $ \cos x $ убывает от $ \cos(0)=1 $ до $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Таким образом, область значений функции $ \cos x $ на заданном промежутке $ \left[-\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right] $ есть $ \left[-\frac{1}{2}, 1\right] $.

Количество корней уравнения $ \cos x = a $ равно числу точек пересечения графика $ y=\cos x $ и горизонтальной прямой $ y=a $ на данном промежутке.

1. Если $ a < -\frac{1}{2} $ или $ a > 1 $, прямая $ y=a $ не пересекает график функции на данном промежутке, следовательно, корней нет.

2. Если $ a = 1 $, есть одна точка пересечения $ x=0 $. Уравнение имеет один корень.

3. Если $ a = -\frac{1}{2} $, есть одна точка пересечения $ x=-\frac{2\pi}{3} $. Уравнение имеет один корень.

4. Если $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $, есть две точки пересечения: $ x=\frac{\pi}{6} $ и $ x=-\frac{\pi}{6} $ (так как $ -\frac{2\pi}{3} \le -\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{6} $). Уравнение имеет два корня.

5. Если $ \frac{\sqrt{3}}{2} < a < 1 $, прямая $ y=a $ пересекает график в двух точках: одна на интервале $ (-\frac{\pi}{6}, 0) $ и другая на $ (0, \frac{\pi}{6}) $. Оба корня лежат в заданном промежутке. Уравнение имеет два корня.

6. Если $ -\frac{1}{2} < a < \frac{\sqrt{3}}{2} $, прямая $ y=a $ пересекает график только в одной точке на интервале $ (-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{6}) $. Уравнение имеет один корень.

Ответ:

Если $ a \in (-\infty, -1/2) \cup (1, +\infty) $, то корней нет.

Если $ a \in [-1/2, \sqrt{3}/2) \cup \{1\} $, то один корень.

Если $ a \in [\sqrt{3}/2, 1) $, то два корня.