Номер 35, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

О равносильных переходах при решении тригонометрических уравнений

Решите уравнение:

1) $\frac{\sin 6x}{1 - \cos 6x} = 0;$

2) $\frac{\cos 3x - \cos x}{\sin 3x - \sin x} = 0;$

3) $\sin x \sqrt{\cos x - \frac{1}{2}} = 0;$

4) $4 \operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 3 \operatorname{ctg} x + 4.$

1) $ \frac{\sin 6x}{1 - \cos 6x} = 0 $
Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$ \begin{cases} \sin 6x = 0, \\ 1 - \cos 6x \neq 0. \end{cases} $
Решим первое уравнение системы:
$ \sin 6x = 0 $
$ 6x = \pi k, \quad k \in Z $
$ x = \frac{\pi k}{6}, \quad k \in Z $
Теперь проверим выполнение второго условия системы: $ 1 - \cos 6x \neq 0 $, что эквивалентно $ \cos 6x \neq 1 $.
Подставим найденные значения $ 6x = \pi k $ в это условие:
$ \cos(\pi k) \neq 1 $
Известно, что $ \cos(\pi k) = 1 $ при четных значениях $ k $, то есть когда $ k = 2n, \ n \in Z $. Эти значения необходимо исключить из решения.
Следовательно, в решении $ k $ должно быть нечетным числом. Запишем $ k = 2n + 1, \ n \in Z $.
Тогда искомые решения:
$ x = \frac{\pi (2n+1)}{6} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in Z $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \ n \in Z $.

2) $ \frac{\cos 3x - \cos x}{\sin 3x - \sin x} = 0 $
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} \cos 3x - \cos x = 0, \\ \sin 3x - \sin x \neq 0. \end{cases} $
Преобразуем числитель и знаменатель, используя формулы преобразования разности тригонометрических функций в произведение:
$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $
$ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $
Система принимает вид:
$ \begin{cases} -2 \sin \frac{3x+x}{2} \sin \frac{3x-x}{2} = 0, \\ 2 \cos \frac{3x+x}{2} \sin \frac{3x-x}{2} \neq 0. \end{cases} \implies \begin{cases} -2 \sin 2x \sin x = 0, \\ 2 \cos 2x \sin x \neq 0. \end{cases} $
Из второго неравенства следует, что $ \cos 2x \neq 0 $ и $ \sin x \neq 0 $.
Из первого уравнения следует, что $ \sin 2x = 0 $ или $ \sin x = 0 $.
Так как по условию $ \sin x \neq 0 $, то остается только $ \sin 2x = 0 $.
Таким образом, решаем систему:
$ \begin{cases} \sin 2x = 0, \\ \sin x \neq 0, \\ \cos 2x \neq 0. \end{cases} $
Решаем первое уравнение $ \sin 2x = 0 $:
$ 2x = \pi k, \quad k \in Z $
$ x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in Z $
Проверим выполнение условий:
1) $ \sin x \neq 0 $. Подставляем $ x = \frac{\pi k}{2} $: $ \sin(\frac{\pi k}{2}) \neq 0 $. Это условие выполняется, когда $ k $ — нечетное число, так как при четных $ k=2n $ мы получаем $ \sin(\pi n) = 0 $. Итак, $ k = 2n+1, \ n \in Z $, откуда $ x = \frac{\pi(2n+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n $.
2) $ \cos 2x \neq 0 $. Подставим найденные значения $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $:
$ \cos(2(\frac{\pi}{2} + \pi n)) = \cos(\pi + 2\pi n) = \cos(\pi) = -1 $.
Так как $ -1 \neq 0 $, это условие выполняется.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in Z $.

3) $ \sin x \sqrt{\cos x - \frac{1}{2}} = 0 $
Данное уравнение равносильно системе, состоящей из совокупности уравнений и неравенства (области допустимых значений):
$ \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0 \\ \sqrt{\cos x - \frac{1}{2}} = 0 \end{array} \right. \\ \cos x - \frac{1}{2} \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0 \\ \cos x = \frac{1}{2} \end{array} \right. \\ \cos x \geq \frac{1}{2} \end{cases} $
Рассмотрим два случая из совокупности с учетом условия $ \cos x \geq \frac{1}{2} $:
1) $ \cos x = \frac{1}{2} $. Это решение автоматически удовлетворяет условию $ \cos x \geq \frac{1}{2} $.
Корни этого уравнения: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \ k \in Z $.
2) $ \sin x = 0 $. В этом случае необходимо дополнительно проверить выполнение условия $ \cos x \geq \frac{1}{2} $.
Из $ \sin x = 0 $ следует, что $ x = \pi n, \ n \in Z $.
Найдем значение $ \cos x $ в этих точках: $ \cos(\pi n) = (-1)^n $.
Неравенство $ (-1)^n \geq \frac{1}{2} $ выполняется только при четных значениях $ n $, так как в этом случае $ (-1)^n = 1 $.
Пусть $ n = 2k, \ k \in Z $. Тогда $ x = 2\pi k, \ k \in Z $.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.
Ответ: $ x=2\pi k, \ k \in Z; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in Z $.

4) $ 4\tg\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 3\ctg x + 4 $
Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} \cos(x - \frac{\pi}{4}) \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \\ x \neq \pi n \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k \\ x \neq \pi n \end{cases}, \quad k, n \in Z $
Используем формулу тангенса разности: $ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta} $.
$ \tg\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg x - \tg\frac{\pi}{4}}{1 + \tg x \tg\frac{\pi}{4}} = \frac{\tg x - 1}{1 + \tg x} $.
Также воспользуемся тем, что $ \ctg x = \frac{1}{\tg x} $. Сделаем замену $ t = \tg x $. Из ОДЗ следует, что $ t \neq 0 $ и $ t \neq -1 $.
Уравнение примет вид:
$ 4 \cdot \frac{t - 1}{t + 1} = \frac{3}{t} + 4 $
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$ \frac{4(t-1)}{t+1} = \frac{3+4t}{t} $
Используя свойство пропорции (для $ t \neq 0, t \neq -1 $):
$ 4t(t-1) = (3+4t)(t+1) $
$ 4t^2 - 4t = 3t + 3 + 4t^2 + 4t $
$ 4t^2 - 4t = 4t^2 + 7t + 3 $
$ -4t = 7t + 3 $
$ -11t = 3 $
$ t = -\frac{3}{11} $
Полученное значение удовлетворяет условиям $ t \neq 0 $ и $ t \neq -1 $.
Выполним обратную замену:
$ \tg x = -\frac{3}{11} $
$ x = \arctan\left(-\frac{3}{11}\right) + \pi k, \quad k \in Z $
$ x = -\arctan\frac{3}{11} + \pi k, \quad k \in Z $.
Ответ: $ x = -\arctan\frac{3}{11} + \pi k, \ k \in Z $.