Номер 42, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 42

Признаки возрастания и убывания функции

1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x + \frac{3}{x}$;

2) $f(x) = \sqrt{2x - x^2}$;

3) $f(x) = \cos x + \frac{x\sqrt{2}}{2}$.

2. На рисунке 13 изображён график производной функции $f'$, дифференцируемой на $R$. Укажите промежутки убывания функции $f$.

Рис. 13

3. Решите уравнение $x^9 + 5x + 1 = \cos 4x$.

4. При каких значениях параметра $a$ функция $f(x) = \frac{1}{3}(a + 3)x^3 - x^2 + 7x - 4$ возрастает на $R$?

1)

Функция $f(x) = x + \frac{3}{x}$.

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x + \frac{3}{x})' = 1 - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2 - 3}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:
$f'(x) = 0 \implies \frac{x^2 - 3}{x^2} = 0 \implies x^2 - 3 = 0 \implies x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками: $(-\infty; -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}; 0)$, $(0; \sqrt{3})$, $(\sqrt{3}; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; -\sqrt{3})$, например $x = -2$, $f'(-2) = \frac{(-2)^2 - 3}{(-2)^2} = \frac{1}{4} > 0$, следовательно, функция возрастает.
• При $x \in (-\sqrt{3}; 0)$, например $x = -1$, $f'(-1) = \frac{(-1)^2 - 3}{(-1)^2} = -2 < 0$, следовательно, функция убывает.
• При $x \in (0; \sqrt{3})$, например $x = 1$, $f'(1) = \frac{1^2 - 3}{1^2} = -2 < 0$, следовательно, функция убывает.
• При $x \in (\sqrt{3}; +\infty)$, например $x = 2$, $f'(2) = \frac{2^2 - 3}{2^2} = \frac{1}{4} > 0$, следовательно, функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{3}]$ и $[\sqrt{3}; +\infty)$, и убывает на промежутках $[-\sqrt{3}; 0)$ и $(0; \sqrt{3}]$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty; -\sqrt{3}]$ и $[\sqrt{3}; +\infty)$; убывает на $[-\sqrt{3}; 0)$ и $(0; \sqrt{3}]$.

2)

Функция $f(x) = \sqrt{2x - x^2}$.

1. Найдем область определения функции. Потребуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$2x - x^2 \ge 0 \implies x(2-x) \ge 0$.
Решением этого неравенства является отрезок $[0; 2]$. Итак, $D(f) = [0; 2]$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sqrt{2x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{2x - x^2}} \cdot (2 - 2x) = \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}}$.

3. Найдем критические точки. Производная определена на интервале $(0; 2)$. Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}} = 0 \implies 1 - x = 0 \implies x = 1$.

4. Точка $x=1$ разбивает область определения $[0; 2]$ на два промежутка: $[0; 1)$ и $(1; 2]$. Определим знак производной на этих интервалах.

• При $x \in (0; 1)$, $1-x > 0$, и знаменатель $\sqrt{2x - x^2} > 0$, значит $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (1; 2)$, $1-x < 0$, и знаменатель $\sqrt{2x - x^2} > 0$, значит $f'(x) < 0$. Функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на отрезке $[0; 1]$ и убывает на отрезке $[1; 2]$.

Ответ: функция возрастает на $[0; 1]$; убывает на $[1; 2]$.

3)

Функция $f(x) = \cos x + \frac{x\sqrt{2}}{2}$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = \mathbb{R}$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\cos x + \frac{x\sqrt{2}}{2})' = -\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Найдем промежутки знакопостоянства производной.

Функция возрастает, когда $f'(x) \ge 0$:
$-\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \ge 0 \implies \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решением этого неравенства являются промежутки вида $[\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{9\pi}{4} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $f'(x) \le 0$:
$-\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \le 0 \implies \sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решением этого неравенства являются промежутки вида $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{9\pi}{4} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$; убывает на промежутках $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

2.

Функция $f$ убывает на тех промежутках, где ее производная $f'(x)$ неположительна, то есть $f'(x) \le 0$.

На рисунке 13 изображен график функции $y = f'(x)$. Мы ищем промежутки, на которых этот график находится ниже оси абсцисс или касается ее.

Из графика видно, что $f'(x) \le 0$ при $x \in [x_1, x_2]$ и при $x \in [x_3, x_4]$.

Следовательно, это и есть промежутки убывания функции $f$.

Ответ: $[x_1, x_2]$ и $[x_3, x_4]$.

3.

Решим уравнение $x^9 + 5x + 1 = \cos 4x$.

Рассмотрим две функции: левую часть уравнения $f(x) = x^9 + 5x + 1$ и правую часть $g(x) = \cos 4x$.

Исследуем функцию $f(x)$. Найдем ее производную:
$f'(x) = (x^9 + 5x + 1)' = 9x^8 + 5$.
Так как $x^8 \ge 0$ для любого $x$, то $9x^8 \ge 0$, и, следовательно, $f'(x) = 9x^8 + 5 \ge 5 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Функция $g(x) = \cos 4x$ является периодической, и ее область значений $E(g) = [-1; 1]$.

Подберем корень уравнения. Проверим $x = 0$:
$f(0) = 0^9 + 5(0) + 1 = 1$.
$g(0) = \cos(4 \cdot 0) = \cos(0) = 1$.
Так как $f(0) = g(0)$, то $x=0$ является корнем уравнения.

Докажем, что других корней нет.
Рассмотрим функцию $h(x) = f(x) - g(x) = x^9 + 5x + 1 - \cos 4x$. Нам нужно найти нули этой функции. Мы уже знаем, что $h(0) = 0$.
Найдем производную $h'(x)$:
$h'(x) = (x^9 + 5x + 1 - \cos 4x)' = 9x^8 + 5 - (-\sin 4x \cdot 4) = 9x^8 + 5 + 4\sin 4x$.
Оценим значение $h'(x)$. Минимальное значение $\sin 4x$ равно -1. Тогда минимальное значение $h'(x)$ равно $9x^8 + 5 + 4(-1) = 9x^8 + 1$.
Так как $9x^8 \ge 0$, то $h'(x) \ge 1 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции $h(x)$ всегда положительна, функция $h(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза.

Так как мы нашли, что $h(0) = 0$, то $x=0$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $0$.

4.

Функция $f(x) = \frac{1}{3}(a + 3)x^3 - x^2 + 7x - 4$ возрастает на $\mathbb{R}$, если ее производная $f'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{3}(a + 3)x^3 - x^2 + 7x - 4)' = (a + 3)x^2 - 2x + 7$.

Теперь нам нужно найти значения параметра $a$, при которых неравенство $(a + 3)x^2 - 2x + 7 \ge 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим два случая для коэффициента при $x^2$.

1. Случай, когда $a + 3 = 0$, то есть $a = -3$.
Производная принимает вид $f'(x) = -2x + 7$.
Неравенство $-2x + 7 \ge 0$ ($x \le 3.5$) выполняется не для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, $a = -3$ не является решением.

2. Случай, когда $a + 3 \ne 0$.
Выражение $(a + 3)x^2 - 2x + 7$ является квадратным трехчленом. Чтобы он был неотрицателен для всех $x$, необходимо, чтобы его график (парабола) был расположен не ниже оси абсцисс. Это возможно, если:

• Ветви параболы направлены вверх, то есть коэффициент при $x^2$ положителен: $a + 3 > 0 \implies a > -3$.
• Парабола не имеет двух различных точек пересечения с осью $x$, то есть дискриминант $D$ должен быть неположительным: $D \le 0$.

Вычислим дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot (a + 3) \cdot 7 = 4 - 28(a + 3)$.

Решим неравенство $D \le 0$:
$4 - 28(a + 3) \le 0$
$4 \le 28(a + 3)$
$\frac{4}{28} \le a + 3$
$\frac{1}{7} \le a + 3$
$a \ge \frac{1}{7} - 3$
$a \ge -\frac{20}{7}$.

Мы должны удовлетворить обоим условиям: $a > -3$ и $a \ge -\frac{20}{7}$.
Так как $-\frac{20}{7} = -2\frac{6}{7}$, а $-2\frac{6}{7} > -3$, то оба условия выполняются при $a \ge -\frac{20}{7}$.

Ответ: $a \ge -\frac{20}{7}$.