Номер 44, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 44

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 12x + 1$, $[0; 6];$

2) $f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x + 7}$, $[1; 4];$

3) $f(x) = x^2 - 4|x| + 3$, $[-3; 1].$

2. В полукруг радиуса $2\sqrt{5}$ см вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 12x + 1$, $[0; 6]$;

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке выполним следующие действия:
1. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 12x + 1)' = x^2 + x - 12$.
2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$x^2 + x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.
3. Определим, какие из критических точек принадлежат заданному отрезку $[0; 6]$.
$x_1 = 3$ принадлежит отрезку $[0; 6]$.
$x_2 = -4$ не принадлежит отрезку $[0; 6]$.
4. Вычислим значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка:
$f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 + \frac{1}{2}(0)^2 - 12(0) + 1 = 1$.
$f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 + \frac{1}{2}(3)^2 - 12(3) + 1 = 9 + 4.5 - 36 + 1 = -21.5$.
$f(6) = \frac{1}{3}(6)^3 + \frac{1}{2}(6)^2 - 12(6) + 1 = 72 + 18 - 72 + 1 = 19$.
5. Среди полученных значений $(1, -21.5, 19)$ выберем наибольшее и наименьшее.
Наибольшее значение: $19$.
Наименьшее значение: $-21.5$.

Ответ: наибольшее значение $19$, наименьшее значение $-21.5$.

2) $f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x + 7}$, $[1; 4]$;

1. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sqrt{-x^2 + 6x + 7})' = \frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 6x + 7}} \cdot (-2x + 6) = \frac{3-x}{\sqrt{-x^2 + 6x + 7}}$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$\frac{3-x}{\sqrt{-x^2 + 6x + 7}} = 0 \Rightarrow 3-x=0 \Rightarrow x=3$.
(Производная не существует в точках, где знаменатель равен нулю, но эти точки являются концами области определения функции и не лежат внутри заданного отрезка).
3. Критическая точка $x=3$ принадлежит отрезку $[1; 4]$.
4. Вычислим значения функции в критической точке $x=3$ и на концах отрезка $x=1$ и $x=4$:
$f(1) = \sqrt{-(1)^2 + 6(1) + 7} = \sqrt{-1+6+7} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
$f(3) = \sqrt{-(3)^2 + 6(3) + 7} = \sqrt{-9+18+7} = \sqrt{16} = 4$.
$f(4) = \sqrt{-(4)^2 + 6(4) + 7} = \sqrt{-16+24+7} = \sqrt{15}$.
5. Сравним полученные значения: $2\sqrt{3} \approx 3.46$, $4$, $\sqrt{15} \approx 3.87$.
Наибольшее значение: $4$.
Наименьшее значение: $2\sqrt{3}$.

Ответ: наибольшее значение $4$, наименьшее значение $2\sqrt{3}$.

3) $f(x) = x^2 - 4|x| + 3$, $[-3; 1]$;

Так как $x^2 = |x|^2$, функцию можно переписать в виде $f(x) = |x|^2 - 4|x| + 3$. Это четная функция.
1. Введем замену $t = |x|$. Когда $x$ изменяется на отрезке $[-3; 1]$, переменная $t$ изменяется на отрезке $[0; 3]$.
2. Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $g(t) = t^2 - 4t + 3$ на отрезке $[0; 3]$.
3. Найдем производную функции $g(t)$:
$g'(t) = (t^2 - 4t + 3)' = 2t - 4$.
4. Найдем критические точки из уравнения $g'(t) = 0$:
$2t - 4 = 0 \Rightarrow t = 2$.
5. Критическая точка $t=2$ принадлежит отрезку $[0; 3]$.
6. Вычислим значения функции $g(t)$ в точке $t=2$ и на концах отрезка $t=0$ и $t=3$:
$g(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$.
$g(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
$g(3) = 3^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$.
7. Среди полученных значений $(3, -1, 0)$ выберем наибольшее и наименьшее.
Наибольшее значение: $3$.
Наименьшее значение: $-1$.

Ответ: наибольшее значение $3$, наименьшее значение $-1$.

2. В полукруг радиуса $2\sqrt{5}$ см вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

1. Пусть радиус полукруга $R = 2\sqrt{5}$. Поместим полукруг в систему координат так, чтобы его центр был в начале координат, а диаметр лежал на оси Ox. Уравнение полуокружности: $y = \sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{20 - x^2}$.
2. Пусть одна сторона прямоугольника лежит на диаметре, а две вершины — на полуокружности. Если координаты одной из верхних вершин $(x, y)$, то стороны прямоугольника будут равны $2x$ и $y$.
3. Периметр прямоугольника $P$ выражается формулой $P = 2(2x + y) = 4x + 2y$.
4. Подставив $y = \sqrt{20 - x^2}$, получим функцию периметра от одной переменной $x$:
$P(x) = 4x + 2\sqrt{20 - x^2}$, где $x \in (0; 2\sqrt{5})$.
5. Для нахождения наибольшего значения периметра найдем производную функции $P(x)$:
$P'(x) = (4x + 2\sqrt{20 - x^2})' = 4 + 2 \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{20 - x^2}} = 4 - \frac{2x}{\sqrt{20 - x^2}}$.
6. Найдем критические точки из условия $P'(x) = 0$:
$4 - \frac{2x}{\sqrt{20 - x^2}} = 0 \Rightarrow 4 = \frac{2x}{\sqrt{20 - x^2}} \Rightarrow 2\sqrt{20 - x^2} = x$.
Возведем обе части в квадрат: $4(20 - x^2) = x^2 \Rightarrow 80 - 4x^2 = x^2 \Rightarrow 5x^2 = 80 \Rightarrow x^2 = 16$.
Так как $x>0$, получаем $x=4$.
7. Эта точка является точкой максимума. Найдем стороны прямоугольника при $x=4$:
Одна сторона: $2x = 2 \cdot 4 = 8$ см.
Другая сторона: $y = \sqrt{20 - x^2} = \sqrt{20 - 4^2} = \sqrt{20 - 16} = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 8 см и 2 см.