Номер 5, страница 56 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 5

Функция и её свойства

1. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 11x}$;

2) $f(x) = \sqrt{8 - x^2}$;

3) $f(x) = \frac{x^2 + 8x}{2x + 16}$.

2. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = \sqrt{x^2 - 6x}$;

2) $y = (x - 2)\sqrt{x^2 - 6x}$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x^2 - 6x + 5$ на промежутке:

1) $[0; 2];$

2) $[1; 4].$

4. Найдите область значений функции $f(x) = \frac{x}{x^2 + 25}$.

1. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 11x}$

Область определения функции $D(f)$: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x^3 + 11x \neq 0 \implies x(x^2 + 11) \neq 0 \implies x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$. Область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 + 11(-x)} = \frac{1}{-x^3 - 11x} = -\frac{1}{x^3 + 11x} = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: нечётная.

2) $f(x) = \sqrt{8 - x^2}$

Область определения функции $D(f)$: выражение под корнем должно быть неотрицательным, т.е. $8 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 8 \implies -\sqrt{8} \le x \le \sqrt{8}$. Таким образом, $D(f) = [-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}]$. Область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \sqrt{8 - (-x)^2} = \sqrt{8 - x^2} = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Ответ: чётная.

3) $f(x) = \frac{x^2 + 8x}{2x + 16}$

Область определения функции $D(f)$: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $2x + 16 \neq 0 \implies 2x \neq -16 \implies x \neq -8$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; -8) \cup (-8; \infty)$.
Область определения не является симметричной относительно начала координат, так как точка $x = 8$ входит в область определения, а точка $x = -8$ не входит. Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: ни чётная, ни нечётная.

2. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = \sqrt{x^2 - 6x}$

1. Найдем область определения: $x^2 - 6x \ge 0 \implies x(x-6) \ge 0$. Решая методом интервалов, получаем $D(y) = (-\infty; 0] \cup [6; \infty)$.
2. Найдем нули функции (точки, где $y=0$): $\sqrt{x^2 - 6x} = 0 \implies x^2 - 6x = 0 \implies x(x-6)=0$. Нули функции: $x_1 = 0, x_2 = 6$.
3. Найдем промежутки знакопостоянства. Так как квадратный корень всегда неотрицателен, $y \ge 0$ на всей области определения.
$y > 0$ при $x^2 - 6x > 0$, что соответствует $x \in (-\infty; 0) \cup (6; \infty)$.
Функция не принимает отрицательных значений.
Ответ: нули функции: $x=0, x=6$; $y>0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (6; \infty)$; отрицательных значений нет.

2) $y = (x - 2)\sqrt{x^2 - 6x}$

1. Область определения: $x^2 - 6x \ge 0 \implies D(y) = (-\infty; 0] \cup [6; \infty)$.
2. Найдем нули функции: $(x - 2)\sqrt{x^2 - 6x} = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$\sqrt{x^2 - 6x} = 0 \implies x=0$ или $x=6$. Оба значения входят в область определения.
$x - 2 = 0 \implies x=2$. Это значение не входит в область определения, поэтому не является нулем функции.
Нули функции: $x=0, x=6$.
3. Найдем промежутки знакопостоянства. Знак функции определяется знаком множителя $(x-2)$, так как $\sqrt{x^2 - 6x} \ge 0$.
$y > 0$, если $x-2 > 0$ и $x$ принадлежит области определения. $x>2$ и $x \in (-\infty; 0] \cup [6; \infty)$. Пересечение этих множеств дает $x \in (6; \infty)$.
$y < 0$, если $x-2 < 0$ и $x$ принадлежит области определения. $x<2$ и $x \in (-\infty; 0] \cup [6; \infty)$. Пересечение этих множеств дает $x \in (-\infty; 0)$.
Ответ: нули функции: $x=0, x=6$; $y>0$ при $x \in (6; \infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 6x + 5$ на промежутке:

Графиком функции является парабола с ветвями вверх. Найдем координаты вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
$y_v = y(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.

1) [0; 2]

Вершина параболы $x_v = 3$ не принадлежит промежутку $[0; 2]$. На этом промежутке, который находится левее вершины, функция монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце промежутка, а наименьшее — на правом.
$y_{наиб} = y(0) = 0^2 - 6(0) + 5 = 5$.
$y_{наим} = y(2) = 2^2 - 6(2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$.
Ответ: наибольшее значение 5, наименьшее значение -3.

2) [1; 4]

Вершина параболы $x_v = 3$ принадлежит промежутку $[1; 4]$. Так как ветви параболы направлены вверх, в точке вершины функция достигает своего наименьшего значения на этом отрезке.
$y_{наим} = y(3) = -4$.
Наибольшее значение достигается на одном из концов промежутка. Сравним значения функции на концах:
$y(1) = 1^2 - 6(1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$.
$y(4) = 4^2 - 6(4) + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$.
Сравнивая $0$ и $-3$, получаем $y_{наиб} = 0$.
Ответ: наибольшее значение 0, наименьшее значение -4.

4. Найдите область значений функции $f(x) = \frac{x}{x^2 + 25}$.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $f(x)$. Обозначим $y = f(x)$.
$y = \frac{x}{x^2 + 25}$.
Выразим $x$ через $y$.
$y(x^2 + 25) = x$
$yx^2 - x + 25y = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно имеет действительные решения только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен.
При $y=0$ уравнение принимает вид $-x=0$, откуда $x=0$. Значит $y=0$ входит в область значений.
При $y \neq 0$ находим дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4(y)(25y) = 1 - 100y^2$.
Условие $D \ge 0$ дает неравенство:
$1 - 100y^2 \ge 0$
$100y^2 \le 1$
$y^2 \le \frac{1}{100}$
$-\sqrt{\frac{1}{100}} \le y \le \sqrt{\frac{1}{100}}$
$-\frac{1}{10} \le y \le \frac{1}{10}$, или $-0.1 \le y \le 0.1$.
Таким образом, область значений функции — это отрезок $[-0.1; 0.1]$.
Ответ: $E(f) = [-0.1; 0.1]$.