Номер 11, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 11

Определение корня $n$-й степени. Функция $y = \sqrt[n]{x}$

1. Вычислите $2(-\sqrt[12]{12})^{12} - 30\sqrt[3]{0,001} + \left(\frac{1}{2}\sqrt[5]{96}\right)^5$.

2. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[9]{4 - x})^9$;

2) $y = (\sqrt[10]{x - 2})^{10}$.

3. Решите неравенство:

1) $\sqrt[4]{2x - 3} \le 3$;

2) $\sqrt[8]{x^2 - 7} \ge \sqrt[8]{6x}$.

4. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение:

1) $(a + 6)\sqrt[8]{x} = 0$;

2) $ax^{10} = 8$.

5. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x^3 + \sqrt[6]{x} = y^3 + \sqrt[6]{y}, \\ 4y^2 + 3x^2 = 7. \end{cases}$

1.

Для вычисления значения выражения $2(-\sqrt[12]{12})^{12} - 30\sqrt[3]{0,001} + (\frac{1}{2}\sqrt[5]{96})^5$ выполним действия по частям.

1) $2(-\sqrt[12]{12})^{12}$. Так как степень 12 четная, то $2(-\sqrt[12]{12})^{12} = 2(\sqrt[12]{12})^{12}$. По определению корня n-й степени $(\sqrt[n]{a})^n = a$, получаем: $2 \cdot 12 = 24$.

2) $-30\sqrt[3]{0,001}$. Представим 0,001 как $0.1^3$: $-30\sqrt[3]{0.1^3} = -30 \cdot 0.1 = -3$.

3) $(\frac{1}{2}\sqrt[5]{96})^5$. Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$: $(\frac{1}{2})^5 \cdot (\sqrt[5]{96})^5 = \frac{1}{32} \cdot 96 = \frac{96}{32} = 3$.

4) Сложим полученные результаты: $24 - 3 + 3 = 24$.

Ответ: 24.

2.

1) $y = (\sqrt[9]{4-x})^9$

Область определения функции $y = \sqrt[9]{4-x}$ — все действительные числа, так как корень нечетной степени извлекается из любого действительного числа. По свойству корня нечетной степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$ для любого $a$. Следовательно, $(\sqrt[9]{4-x})^9 = 4-x$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Таким образом, функция имеет вид $y = 4-x$. Графиком этой функции является прямая линия, проходящая, например, через точки (0, 4) и (4, 0).

Ответ: График функции — это прямая линия $y = 4-x$.

2) $y = (\sqrt[10]{x-2})^{10}$

Область определения функции (ОДЗ) задается условием, что выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Для всех $x$ из области определения выполняется равенство $(\sqrt[10]{x-2})^{10} = x-2$.

Следовательно, функция имеет вид $y = x-2$ при условии $x \ge 2$. Графиком этой функции является луч, выходящий из точки (2, 0) и проходящий, например, через точку (3, 1).

Ответ: График функции — это луч, заданный уравнением $y = x-2$ при $x \ge 2$, с началом в точке (2, 0).

3.

1) $\sqrt[4]{2x-3} \le 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $2x - 3 \ge 0 \implies 2x \ge 3 \implies x \ge 1.5$.

Так как обе части неравенства неотрицательны на ОДЗ, мы можем возвести их в 4-ю степень, сохраняя знак неравенства: $(\sqrt[4]{2x-3})^4 \le 3^4$ $2x - 3 \le 81$ $2x \le 84$ $x \le 42$.

Объединяя полученное решение с ОДЗ, получаем систему: $\begin{cases} x \ge 1.5 \\ x \le 42 \end{cases}$ Решением является промежуток $[1.5; 42]$.

Ответ: $[1.5; 42]$.

2) $\sqrt[8]{x^2-7} \ge \sqrt[8]{6x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 7 \ge 0 \\ 6x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 \ge 7 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (-\infty, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty) \\ x \ge 0 \end{cases}$ Пересечение этих множеств дает ОДЗ: $x \ge \sqrt{7}$.

На ОДЗ обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в 8-ю степень: $x^2 - 7 \ge 6x$ $x^2 - 6x - 7 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x - 7 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 6x - 7$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [7, \infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x \ge \sqrt{7}$). Учитывая, что $\sqrt{7} \approx 2.65$, получаем: $x \in ([-\infty, -1] \cup [7, \infty)) \cap [\sqrt{7}, \infty) = [7, \infty)$.

Ответ: $[7; \infty)$.

4.

1) $(a+6)\sqrt[8]{x} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: $a+6 = 0$, то есть $a = -6$. Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt[8]{x} = 0$, или $0=0$. Это верное равенство для всех $x$, при которых выражение $\sqrt[8]{x}$ определено, то есть для $x \ge 0$. Следовательно, при $a=-6$ решением является $x \in [0, \infty)$.

Случай 2: $a+6 \ne 0$, то есть $a \ne -6$. В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a+6)$: $\sqrt[8]{x} = 0$. Возведя обе части в 8-ю степень, получаем $x=0$.

Ответ: если $a = -6$, то $x \in [0, \infty)$; если $a \ne -6$, то $x = 0$.

2) $ax^{10} = 8$

Рассмотрим различные значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x^{10} = 8$, или $0 = 8$. Это неверное равенство, следовательно, корней нет.

Случай 2: $a \ne 0$. Разделим обе части на $a$: $x^{10} = \frac{8}{a}$.

Если $a < 0$, то $\frac{8}{a} < 0$. Выражение $x^{10}$ всегда неотрицательно ($x^{10} \ge 0$), поэтому уравнение $x^{10} = \text{отрицательное число}$ не имеет действительных корней.

Если $a > 0$, то $\frac{8}{a} > 0$. Уравнение $x^{10} = C$, где $C > 0$, имеет два корня: $x = \pm\sqrt[10]{C}$. В нашем случае $x = \pm\sqrt[10]{\frac{8}{a}}$.

Ответ: если $a \le 0$, то корней нет; если $a > 0$, то $x = \pm\sqrt[10]{\frac{8}{a}}$.

5.

Дана система уравнений: $\begin{cases} x^3 + \sqrt[6]{x} = y^3 + \sqrt[6]{y} \\ 4y^2 + 3x^2 = 7 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) системы определяется наличием корней шестой степени: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Введем функцию $f(t) = t^3 + \sqrt[6]{t}$ с областью определения $t \ge 0$. Тогда первое уравнение можно записать как $f(x) = f(y)$.

Исследуем эту функцию на монотонность. Найдем ее производную для $t > 0$: $f'(t) = (t^3 + t^{1/6})' = 3t^2 + \frac{1}{6}t^{-5/6} = 3t^2 + \frac{1}{6\sqrt[6]{t^5}}$.

При $t > 0$ оба слагаемых в производной строго положительны, значит, $f'(t) > 0$. Следовательно, функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, \infty)$.

Для строго монотонной функции равенство $f(x) = f(y)$ возможно только тогда, когда $x = y$.

Подставим $y = x$ во второе уравнение системы: $4x^2 + 3x^2 = 7$ $7x^2 = 7$ $x^2 = 1$.

Отсюда $x=1$ или $x=-1$.

Учитывая ОДЗ ($x \ge 0$), корень $x=-1$ не подходит. Единственное решение — $x=1$. Так как $y=x$, то $y=1$.

Проверка показывает, что пара $(1, 1)$ удовлетворяет обоим уравнениям системы и ОДЗ.

Ответ: $(1; 1)$.