Номер 18, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 18

Радианная мера угла

1. Найдите радианную меру угла, равного:

1) 10°; 2) 270°.

2. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

1) $ \frac{\pi}{15} $; 2) $ 1\frac{5}{6}\pi $.

3. В какой координатной четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $ P_0(1; 0) $ на угол:

1) 126°; 3) $ -\frac{7\pi}{6} $;

2) $ \frac{\pi}{5} $; 4) -5?

4. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $ P_0(-1; 0) $, чтобы получить точку:

1) $ P_1\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $; 2) $ P_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.

5. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $ P_0(1; 0) $ на углы:

1) $ \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $; 2) $ \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

1) Чтобы найти радианную меру угла в 10°, нужно умножить его градусную меру на множитель $\frac{\pi}{180^\circ}$. $10^\circ = 10 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{18}$ рад. Ответ: $\frac{\pi}{18}$.

2) Аналогично, для угла в 270°: $270^\circ = 270 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{27\pi}{18} = \frac{3\pi}{2}$ рад. Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

1) Чтобы найти градусную меру угла, радианная мера которого равна $\frac{\pi}{15}$, нужно умножить ее на множитель $\frac{180^\circ}{\pi}$. $\frac{\pi}{15} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{15} = 12^\circ$. Ответ: $12^\circ$.

2) Сначала представим смешанное число $1\frac{5}{6}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{5}{6}\pi = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6}\pi = \frac{11\pi}{6}$. Теперь переведем в градусы: $\frac{11\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 11 \cdot \frac{180^\circ}{6} = 11 \cdot 30^\circ = 330^\circ$. Ответ: $330^\circ$.

1) Угол $126^\circ$ находится между $90^\circ$ и $180^\circ$ ($90^\circ < 126^\circ < 180^\circ$). Следовательно, точка, полученная поворотом на этот угол, находится во второй координатной четверти. Ответ: во II четверти.

2) Переведем угол $\frac{\pi}{5}$ из радиан в градусы: $\frac{\pi}{5} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 36^\circ$. Так как $0^\circ < 36^\circ < 90^\circ$, точка находится в первой координатной четверти. Ответ: в I четверти.

3) Для отрицательного угла $-\frac{7\pi}{6}$ найдем соответствующий ему наименьший положительный угол, прибавив полный оборот $2\pi$: $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi = -\frac{7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Угол $\frac{5\pi}{6}$ соответствует $150^\circ$. Так как $90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$, точка находится во второй координатной четверти. Ответ: во II четверти.

4) Угол $-5$ дан в радианах. Найдем соответствующий ему наименьший положительный угол, прибавив $2\pi$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,1416$, получим $2\pi \approx 6,2832$. Тогда угол поворота равен $-5 + 2\pi \approx -5 + 6,2832 = 1,2832$ радиан. Границами первой четверти являются $0$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. Так как $0 < 1,2832 < 1,5708$, точка находится в первой координатной четверти. Ответ: в I четверти.

1) Начальная точка $P_0(-1; 0)$ на единичной окружности соответствует углу $\pi$. Конечная точка $P_1(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$ имеет координаты $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Отсюда $\cos\alpha = \frac{1}{2}$ и $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, что соответствует углу $\alpha = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ для любого целого $n$. Угол поворота $\theta$ равен разности конечного и начального углов: $\theta = \alpha - \pi = -\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3}$. Общая формула для всех углов поворота, учитывая полные обороты: $\theta = -\frac{4\pi}{3} + 2\pi k$. Это можно записать как $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Ответ: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Конечная точка $P_2(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$ соответствует углу $\alpha$, для которого $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это угол II четверти, $\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ для любого целого $n$. Угол поворота $\theta$ от точки $P_0(-1; 0)$ равен: $\theta = \alpha - \pi = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}$. Общая формула для всех углов поворота: $\theta = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

1) Координаты точки, полученной при повороте $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, равны $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. Для углов $\alpha = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, слагаемое $2\pi k$ представляет собой целое число полных оборотов и не влияет на конечное положение точки. Поэтому достаточно вычислить координаты для $\alpha = \frac{\pi}{4}$: $x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $y = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

2) Для углов вида $\frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$, мы получим набор различных точек на единичной окружности. Найдем координаты для последовательных целых значений $k$, пока точки не начнут повторяться. Период повторения для данного случая равен 6, так как $\frac{\pi \cdot 6}{3} = 2\pi$.

• При $k=0$: угол $0$, точка $(\cos 0, \sin 0) = (1, 0)$.
• При $k=1$: угол $\frac{\pi}{3}$, точка $(\cos\frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• При $k=2$: угол $\frac{2\pi}{3}$, точка $(\cos\frac{2\pi}{3}, \sin\frac{2\pi}{3}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
• При $k=3$: угол $\pi$, точка $(\cos\pi, \sin\pi) = (-1, 0)$.
• При $k=4$: угол $\frac{4\pi}{3}$, точка $(\cos\frac{4\pi}{3}, \sin\frac{4\pi}{3}) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
• При $k=5$: угол $\frac{5\pi}{3}$, точка $(\cos\frac{5\pi}{3}, \sin\frac{5\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=6$ угол равен $2\pi$, что соответствует той же точке, что и при $k=0$. Ответ: $(1; 0)$, $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-1; 0)$, $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.