Номер 16, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 16

Различные приёмы решения

иррациональных уравнений и их систем

1) $\sqrt{x-5} - 8 = 2\sqrt[4]{x-5}$;

2) $\sqrt{\frac{x+4}{x-4}} - 2\sqrt{\frac{x-4}{x+4}} = \frac{7}{3}$;

3) $3x^2 + 15x + 2\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2$;

4) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = -2 \\ xy = -27 \end{cases}$;

5) $\sqrt[3]{x+10} + \sqrt[3]{6-x} = 4$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt{x-5} - 8 = 2\sqrt[4]{x-5}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-5 \geq 0$, откуда $x \geq 5$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x-5}$. Так как корень четвертой степени является неотрицательным, то $t \geq 0$.
Тогда $\sqrt{x-5} = (\sqrt[4]{x-5})^2 = t^2$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$t^2 - 8 = 2t$
$t^2 - 2t - 8 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 6}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 6}{2} = -2$.
Согласно условию замены $t \geq 0$, корень $t_2 = -2$ является посторонним. Используем корень $t_1 = 4$.
Вернемся к исходной переменной:
$\sqrt[4]{x-5} = 4$
Возведем обе части уравнения в четвертую степень:
$x-5 = 4^4$
$x-5 = 256$
$x = 261$.
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $261 \geq 5$. Условие выполняется.
Ответ: 261.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{x+4}{x-4}} - 2\sqrt{\frac{x-4}{x+4}} = \frac{7}{3}$.
ОДЗ: выражения под корнями должны быть строго положительными (так как они также находятся в знаменателе): $\frac{x+4}{x-4} > 0$. Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.
Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{x+4}{x-4}}$. Тогда $t > 0$.
Второе слагаемое $\sqrt{\frac{x-4}{x+4}}$ является обратной величиной: $\sqrt{\frac{x-4}{x+4}} = \frac{1}{t}$.
Уравнение принимает вид:
$t - 2 \cdot \frac{1}{t} = \frac{7}{3}$
$t - \frac{2}{t} = \frac{7}{3}$
Умножим обе части на $3t$ (так как $t \neq 0$):
$3t^2 - 6 = 7t$
$3t^2 - 7t - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
$t_1 = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.
$t_2 = \frac{7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Так как по условию замены $t > 0$, корень $t_2 = -2/3$ не подходит. Используем $t_1 = 3$.
Производим обратную замену:
$\sqrt{\frac{x+4}{x-4}} = 3$
Возводим обе части в квадрат:
$\frac{x+4}{x-4} = 9$
$x+4 = 9(x-4)$
$x+4 = 9x - 36$
$40 = 8x$
$x = 5$.
Проверяем соответствие ОДЗ: $5 \in (4; +\infty)$. Корень подходит.
Ответ: 5.

3) Исходное уравнение: $3x^2 + 15x + 2\sqrt{x^2+5x+1} = 2$.
ОДЗ: $x^2+5x+1 \geq 0$.
Преобразуем левую часть, вынеся 3 за скобки: $3(x^2+5x) + 2\sqrt{x^2+5x+1} = 2$.
Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2+5x+1}$, где $t \geq 0$.
Тогда $t^2 = x^2+5x+1$, откуда $x^2+5x = t^2-1$.
Подставим в уравнение:
$3(t^2-1) + 2t = 2$
$3t^2 - 3 + 2t = 2$
$3t^2 + 2t - 5 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
$t_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
$t_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.
По условию $t \geq 0$, поэтому $t_2 = -5/3$ - посторонний корень. Используем $t_1 = 1$.
Вернемся к переменной $x$:
$\sqrt{x^2+5x+1} = 1$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2+5x+1 = 1$
$x^2+5x = 0$
$x(x+5) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1=0$ и $x_2=-5$.
Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x^2+5x+1 \geq 0$):
Для $x=0$: $0^2+5(0)+1 = 1 \geq 0$. Корень подходит.
Для $x=-5$: $(-5)^2+5(-5)+1 = 25-25+1 = 1 \geq 0$. Корень подходит.
Ответ: -5; 0.

4) Исходная система уравнений: $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = -2 \\ xy = -27 \end{cases}$.
Введем новые переменные: $a = \sqrt[3]{x}$, $b = \sqrt[3]{y}$.
Тогда $x = a^3$, $y = b^3$.
Первое уравнение системы примет вид: $a+b = -2$.
Преобразуем второе уравнение: $xy = a^3 b^3 = (ab)^3 = -27$.
Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $ab = -3$.
Теперь решаем новую, более простую систему: $\begin{cases} a+b = -2 \\ ab = -3 \end{cases}$.
По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (a+b)z + ab = 0$:
$z^2 - (-2)z + (-3) = 0$
$z^2 + 2z - 3 = 0$
Корни этого уравнения: $z_1 = 1$, $z_2 = -3$.
Следовательно, возможны два случая:
1. $a=1$, $b=-3$.
2. $a=-3$, $b=1$.
Вернемся к переменным $x$ и $y$:
В первом случае: $x = a^3 = 1^3 = 1$; $y = b^3 = (-3)^3 = -27$. Получаем решение $(1; -27)$.
Во втором случае: $x = a^3 = (-3)^3 = -27$; $y = b^3 = 1^3 = 1$. Получаем решение $(-27; 1)$.
Ответ: (1; -27), (-27; 1).

5) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x+10} + \sqrt[3]{6-x} = 4$.
Введем замену: $a = \sqrt[3]{x+10}$, $b = \sqrt[3]{6-x}$.
Уравнение примет вид: $a+b=4$.
Возведем выражения для $a$ и $b$ в куб:
$a^3 = x+10$
$b^3 = 6-x$
Сложим эти два равенства: $a^3 + b^3 = (x+10) + (6-x) = 16$.
Получили систему уравнений: $\begin{cases} a+b = 4 \\ a^3+b^3=16 \end{cases}$.
Используем формулу суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Подставим известные значения: $16 = 4(a^2-ab+b^2)$, откуда $a^2-ab+b^2 = 4$.
Также из $a+b=4$ следует, что $(a+b)^2=16$, то есть $a^2+2ab+b^2=16$.
Теперь вычтем из второго полученного уравнения первое:
$(a^2+2ab+b^2) - (a^2-ab+b^2) = 16-4$
$3ab=12$
$ab=4$.
Мы получили систему: $\begin{cases} a+b=4 \\ ab=4 \end{cases}$.
По теореме Виета, $a$ и $b$ - корни уравнения $z^2 - 4z + 4 = 0$, или $(z-2)^2=0$.
Это уравнение имеет один корень $z=2$. Значит, $a=2$ и $b=2$.
Произведем обратную замену (достаточно использовать одну из переменных):
$a = \sqrt[3]{x+10} = 2$
Возведем в куб:
$x+10 = 2^3 = 8$
$x = 8-10 = -2$.
Проверка: $\sqrt[3]{-2+10} + \sqrt[3]{6-(-2)} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8} = 2+2=4$. Решение верное.
Ответ: -2.