Номер 13, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 13

Свойства корня n-й степени

1. Сравните:

1) $\sqrt{3}$ и $\sqrt[5]{16}$;

2) $\sqrt[18]{19}$ и $\sqrt[12]{7}$.

2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[4]{(x+1)^4}$;

2) $y = \sqrt[6]{(x-1)^5} \cdot \sqrt[6]{x-1}$.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{x^{17}};$

2) $\sqrt[5]{-b^{12}};$

3) $\sqrt[4]{x^{18}y^7};$

4) $\sqrt[4]{-625a^{15}};$

5) $\sqrt[8]{m^{10}n^9}$, если $m \le 0$;

6) $\sqrt[6]{-m^{49}n^{20}}$, если $n \ge 0$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $2x\sqrt[3]{3x^2};$

2) $a\sqrt{-a};$

3) $a^4\sqrt[4]{a^3};$

4) $m\sqrt[6]{m^4}$, если $m \le 0$;

5) $a^5b^3\sqrt[8]{a^6b^{10}}$, если $a < 0, b > 0$.

5. Упростите выражение

$\left( \frac{\sqrt[4]{a} - 2}{\sqrt[4]{a} + 2} - \frac{\sqrt[4]{a} + 2}{\sqrt[4]{a} - 2} \right) : \frac{12\sqrt{a}}{4 - \sqrt{a}}$.

1. Сравните:

1) Чтобы сравнить $\sqrt{3}$ и $\sqrt[5]{16}$, приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 2 и 5 равно 10.

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} = (3^5)^{\frac{1}{10}} = \sqrt[10]{3^5} = \sqrt[10]{243}$.

$\sqrt[5]{16} = 16^{\frac{1}{5}} = (16^2)^{\frac{1}{10}} = \sqrt[10]{16^2} = \sqrt[10]{256}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $243 < 256$.

Следовательно, $\sqrt[10]{243} < \sqrt[10]{256}$, что означает $\sqrt{3} < \sqrt[5]{16}$.

Ответ: $\sqrt{3} < \sqrt[5]{16}$.

2) Чтобы сравнить $\sqrt[18]{19}$ и $\sqrt[12]{7}$, приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 18 и 12 равно 36.

$\sqrt[18]{19} = 19^{\frac{1}{18}} = (19^2)^{\frac{1}{36}} = \sqrt[36]{19^2} = \sqrt[36]{361}$.

$\sqrt[12]{7} = 7^{\frac{1}{12}} = (7^3)^{\frac{1}{36}} = \sqrt[36]{7^3} = \sqrt[36]{343}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $361 > 343$.

Следовательно, $\sqrt[36]{361} > \sqrt[36]{343}$, что означает $\sqrt[18]{19} > \sqrt[12]{7}$.

Ответ: $\sqrt[18]{19} > \sqrt[12]{7}$.

2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[4]{(x+1)^4}$

Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.

В данном случае, $y = \sqrt[4]{(x+1)^4} = |x+1|$.

График этой функции — это график функции $y=|x|$, смещенный на 1 единицу влево по оси Ox. Он состоит из двух лучей, выходящих из точки $(-1, 0)$.

При $x \ge -1$, $y = x+1$ (луч, проходящий через точки $(-1, 0)$ и $(0, 1)$).

При $x < -1$, $y = -(x+1) = -x-1$ (луч, проходящий через точки $(-1, 0)$ и $(-2, 1)$).

Ответ: График функции $y = |x+1|$ — "галочка" с вершиной в точке $(-1, 0)$.

2) $y = \sqrt[6]{(x-1)^5} \cdot \sqrt[6]{x-1}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным, поэтому $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

Упростим выражение для $x \ge 1$:

$y = \sqrt[6]{(x-1)^5 \cdot (x-1)} = \sqrt[6]{(x-1)^6}$.

Так как $x-1 \ge 0$, то $\sqrt[6]{(x-1)^6} = |x-1| = x-1$.

Таким образом, функция имеет вид $y = x-1$ при $x \ge 1$.

График этой функции — луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и проходящий через точку, например, $(2, 1)$.

Ответ: График функции — луч $y=x-1$ с началом в точке $(1, 0)$.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{x^{17}}$

Представим $x^{17}$ в виде $x^{16} \cdot x = (x^4)^4 \cdot x$. Область определения $x \ge 0$.

$\sqrt[4]{x^{17}} = \sqrt[4]{(x^4)^4 \cdot x} = \sqrt[4]{(x^4)^4} \cdot \sqrt[4]{x} = |x^4|\sqrt[4]{x}$.

Так как $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то $|x^4|=x^4$.

$\sqrt[4]{x^{17}} = x^4\sqrt[4]{x}$.

Ответ: $x^4\sqrt[4]{x}$.

2) $\sqrt[5]{-b^{12}}$

Показатель корня нечетный, поэтому подкоренное выражение может быть отрицательным.

$\sqrt[5]{-b^{12}} = \sqrt[5]{-1 \cdot b^{10} \cdot b^2} = \sqrt[5]{(-1)^5 \cdot (b^2)^5 \cdot b^2} = \sqrt[5]{(-b^2)^5 \cdot b^2} = -b^2\sqrt[5]{b^2}$.

Ответ: $-b^2\sqrt[5]{b^2}$.

3) $\sqrt[4]{x^{18}y^7}$

Область определения: $x^{18}y^7 \ge 0$. Так как $x^{18} \ge 0$, то должно выполняться $y^7 \ge 0$, то есть $y \ge 0$.

$\sqrt[4]{x^{18}y^7} = \sqrt[4]{x^{16}x^2y^4y^3} = \sqrt[4]{(x^4)^4 \cdot y^4 \cdot x^2y^3} = |x^4| \cdot |y| \cdot \sqrt[4]{x^2y^3}$.

Так как $x^4 \ge 0$ и $y \ge 0$, то $|x^4|=x^4$ и $|y|=y$.

$\sqrt[4]{x^{18}y^7} = x^4y\sqrt[4]{x^2y^3}$.

Ответ: $x^4y\sqrt[4]{x^2y^3}$.

4) $\sqrt[4]{-625a^{15}}$

Область определения: $-625a^{15} \ge 0 \implies a^{15} \le 0 \implies a \le 0$.

$\sqrt[4]{-625a^{15}} = \sqrt[4]{625 \cdot (-a^{15})} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (-a)^{15}} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (-a)^{12} \cdot (-a)^3}$.

Так как $a \le 0$, то $-a \ge 0$.

$\sqrt[4]{5^4 \cdot ((-a)^3)^4 \cdot (-a)^3} = |5| \cdot |(-a)^3| \cdot \sqrt[4]{(-a)^3} = 5(-a)^3\sqrt[4]{-a^3} = -5a^3\sqrt[4]{-a^3}$.

Ответ: $-5a^3\sqrt[4]{-a^3}$.

5) $\sqrt[8]{m^{10}n^9}$, если $m \le 0$

Область определения: $m^{10}n^9 \ge 0$. Так как $m^{10} \ge 0$, то $n^9 \ge 0$, то есть $n \ge 0$.

$\sqrt[8]{m^{10}n^9} = \sqrt[8]{m^8m^2n^8n} = |m| \cdot |n| \cdot \sqrt[8]{m^2n}$.

По условию $m \le 0$, значит $|m| = -m$. Из области определения $n \ge 0$, значит $|n| = n$.

$\sqrt[8]{m^{10}n^9} = -mn\sqrt[8]{m^2n}$.

Ответ: $-mn\sqrt[8]{m^2n}$.

6) $\sqrt[6]{-m^{49}n^{20}}$, если $n \ge 0$

Область определения: $-m^{49}n^{20} \ge 0$. Так как $n^{20} \ge 0$, то $-m^{49} \ge 0 \implies m^{49} \le 0 \implies m \le 0$.

Представим подкоренное выражение через неотрицательные величины $-m$ и $n$. Так как $m \le 0$, то $-m \ge 0$.

$-m^{49}n^{20} = (-m)^{49}n^{20}$.

$\sqrt[6]{(-m)^{49}n^{20}} = \sqrt[6]{(-m)^{48}(-m)n^{18}n^2} = \sqrt[6]{((-m)^8)^6 \cdot (n^3)^6 \cdot (-m)n^2}$.

$= |(-m)^8| \cdot |n^3| \cdot \sqrt[6]{-mn^2}$.

Так как $-m \ge 0$ и $n \ge 0$, то $|(-m)^8| = (-m)^8 = m^8$ и $|n^3| = n^3$.

$\sqrt[6]{-m^{49}n^{20}} = m^8n^3\sqrt[6]{-mn^2}$.

Ответ: $m^8n^3\sqrt[6]{-mn^2}$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $2x\sqrt[3]{3x^2}$

Показатель корня нечетный, поэтому множитель можно вносить без ограничений.

$2x\sqrt[3]{3x^2} = \sqrt[3]{(2x)^3 \cdot 3x^2} = \sqrt[3]{8x^3 \cdot 3x^2} = \sqrt[3]{24x^5}$.

Ответ: $\sqrt[3]{24x^5}$.

2) $a\sqrt{-a}$

Область определения: $-a \ge 0$, то есть $a \le 0$.

Так как множитель $a$ неположительный, при внесении его под знак корня четной степени перед корнем остается знак минус.

$a\sqrt{-a} = -(-a)\sqrt{-a} = -\sqrt{(-a)^2 \cdot (-a)} = -\sqrt{(-a)^3} = -\sqrt{-a^3}$.

Ответ: $-\sqrt{-a^3}$.

3) $a\sqrt[4]{a^3}$

Область определения: $a^3 \ge 0$, то есть $a \ge 0$.

Так как множитель $a$ неотрицательный, вносим его под корень без изменений.

$a\sqrt[4]{a^3} = \sqrt[4]{a^4 \cdot a^3} = \sqrt[4]{a^7}$.

Ответ: $\sqrt[4]{a^7}$.

4) $m\sqrt[6]{m^4}$, если $m \le 0$

Множитель $m$ неположительный. При внесении под корень четной степени перед корнем ставится знак минус.

$m\sqrt[6]{m^4} = -(-m)\sqrt[6]{m^4} = -\sqrt[6]{(-m)^6 \cdot m^4} = -\sqrt[6]{m^6 \cdot m^4} = -\sqrt[6]{m^{10}}$.

Ответ: $-\sqrt[6]{m^{10}}$.

5) $a^5b^3\sqrt[8]{a^6b^{10}}$, если $a < 0, b > 0$

Определим знак множителя $a^5b^3$. Так как $a < 0$, то $a^5 < 0$. Так как $b > 0$, то $b^3 > 0$.

Произведение $a^5b^3$ отрицательно.

При внесении отрицательного множителя под корень четной степени, перед корнем ставится знак минус.

$a^5b^3\sqrt[8]{a^6b^{10}} = -( -(a^5b^3) ) \sqrt[8]{a^6b^{10}} = -\sqrt[8]{(-(a^5b^3))^8 \cdot a^6b^{10}}$.

$= -\sqrt[8]{(a^5b^3)^8 \cdot a^6b^{10}} = -\sqrt[8]{a^{40}b^{24} \cdot a^6b^{10}} = -\sqrt[8]{a^{46}b^{34}}$.

Ответ: $-\sqrt[8]{a^{46}b^{34}}$.

5. Упростите выражение

$(\frac{\sqrt[4]{a}-2}{\sqrt[4]{a}+2} - \frac{\sqrt[4]{a}+2}{\sqrt[4]{a}-2}) : \frac{12\sqrt{a}}{4-\sqrt{a}}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $a > 0, a \ne 16$.

Сделаем замену: пусть $t = \sqrt[4]{a}$. Тогда $\sqrt{a} = t^2$. Выражение примет вид:

$(\frac{t-2}{t+2} - \frac{t+2}{t-2}) : \frac{12t^2}{4-t^2}$

1. Упростим выражение в скобках:

$\frac{t-2}{t+2} - \frac{t+2}{t-2} = \frac{(t-2)^2 - (t+2)^2}{(t+2)(t-2)} = \frac{(t^2-4t+4) - (t^2+4t+4)}{t^2-4} = \frac{-8t}{t^2-4}$.

2. Выполним деление:

$\frac{-8t}{t^2-4} : \frac{12t^2}{4-t^2} = \frac{-8t}{t^2-4} \cdot \frac{4-t^2}{12t^2} = \frac{-8t}{t^2-4} \cdot \frac{-(t^2-4)}{12t^2}$.

Сократим $(t^2-4)$ (так как $a \ne 16$, то $t^2 \ne 4$):

$\frac{-8t \cdot (-1)}{12t^2} = \frac{8t}{12t^2} = \frac{2}{3t}$.

3. Выполним обратную замену $t = \sqrt[4]{a}$:

$\frac{2}{3t} = \frac{2}{3\sqrt[4]{a}}$.

Ответ: $\frac{2}{3\sqrt[4]{a}}$.