Номер 17, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Иррациональные неравенства

1. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3-2x} > \sqrt{x+1}$;

2) $\sqrt{2x^2-3x-5} \le x-1$;

3) $\sqrt{x+24} > x-6$;

4) $(6-7x)\sqrt{x+2} \le 0$.

2. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство $a\sqrt{x+3} < 1$.

1) Исходное неравенство $ \sqrt{3 - 2x} > \sqrt{x + 1} $ равносильно системе неравенств, так как обе части неравенства неотрицательны в области определения:

$ \begin{cases} 3 - 2x > x + 1 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} $

Решаем первое неравенство системы:

$ 3 - 1 > 2x + x $

$ 2 > 3x $

$ x < \frac{2}{3} $

Решаем второе неравенство системы:

$ x \ge -1 $

Находим пересечение решений: $ x \in [-1, \frac{2}{3}) $.

Ответ: $ [-1, \frac{2}{3}) $.

2) Неравенство вида $ \sqrt{f(x)} \le g(x) $ равносильно системе:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le (g(x))^2 \end{cases} $

Для неравенства $ \sqrt{2x^2 - 3x - 5} \le x - 1 $ получаем систему:

$ \begin{cases} 2x^2 - 3x - 5 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \\ 2x^2 - 3x - 5 \le (x - 1)^2 \end{cases} $

1. Решим $ 2x^2 - 3x - 5 \ge 0 $. Корни квадратного трехчлена $ 2x^2 - 3x - 5 $ равны $ x_1 = -1 $ и $ x_2 = 2.5 $. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $ x \in (-\infty, -1] \cup [2.5, +\infty) $.

2. Решим $ x - 1 \ge 0 $. Получаем $ x \ge 1 $.

3. Решим $ 2x^2 - 3x - 5 \le (x - 1)^2 $:

$ 2x^2 - 3x - 5 \le x^2 - 2x + 1 $

$ x^2 - x - 6 \le 0 $

Корни трехчлена $ x^2 - x - 6 $ равны $ x_1 = -2 $ и $ x_2 = 3 $. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $ x \in [-2, 3] $.

Найдем пересечение решений всех трех неравенств: $ x \in ([-\infty, -1] \cup [2.5, +\infty)) \cap [1, +\infty) \cap [-2, 3] $.

Пересечение первых двух множеств: $ [2.5, +\infty) $.

Пересечение результата с третьим множеством: $ [2.5, +\infty) \cap [-2, 3] = [2.5, 3] $.

Ответ: $ [2.5, 3] $.

3) Неравенство вида $ \sqrt{f(x)} > g(x) $ равносильно совокупности двух систем:

$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \end{gathered} \right. $

Для неравенства $ \sqrt{x + 24} > x - 6 $ получаем:

Первая система:

$ \begin{cases} x - 6 < 0 \\ x + 24 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 6 \\ x \ge -24 \end{cases} \implies x \in [-24, 6) $.

Вторая система:

$ \begin{cases} x - 6 \ge 0 \\ x + 24 > (x - 6)^2 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 6 \\ x + 24 > x^2 - 12x + 36 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 6 \\ x^2 - 13x + 12 < 0 \end{cases} $.

Корни уравнения $ x^2 - 13x + 12 = 0 $ равны $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 12 $. Решение неравенства $ x^2 - 13x + 12 < 0 $ есть интервал $ (1, 12) $.

Пересечение решений второй системы: $ x \in [6, +\infty) \cap (1, 12) = [6, 12) $.

Объединение решений обеих систем дает окончательный ответ: $ [-24, 6) \cup [6, 12) = [-24, 12) $.

Ответ: $ [-24, 12) $.

4) Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства $ (6 - 7x)\sqrt{x + 2} \le 0 $ определяется условием $ x + 2 \ge 0 $, то есть $ x \ge -2 $.

На ОДЗ множитель $ \sqrt{x + 2} $ всегда неотрицателен. Неравенство выполняется в двух случаях:

1. Если $ \sqrt{x + 2} = 0 $, то есть $ x = -2 $. При этом значении левая часть неравенства равна нулю, и неравенство $ 0 \le 0 $ выполняется. Таким образом, $ x = -2 $ является решением.

2. Если $ \sqrt{x + 2} > 0 $, то есть $ x > -2 $, то для выполнения неравенства множитель $ (6 - 7x) $ должен быть неположительным:

$ 6 - 7x \le 0 $

$ 6 \le 7x $

$ x \ge \frac{6}{7} $

Объединяя оба случая, получаем множество решений.

Ответ: $ \{-2\} \cup [\frac{6}{7}, +\infty) $.

2. Решим неравенство $ a\sqrt{x + 3} < 1 $ для каждого значения параметра $ a $.

Область допустимых значений (ОДЗ): $ x + 3 \ge 0 $, то есть $ x \ge -3 $.

Рассмотрим три возможных случая для параметра $ a $.

Случай 1: $ a > 0 $

Разделим обе части неравенства на положительное число $ a $:

$ \sqrt{x + 3} < \frac{1}{a} $

Так как обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

$ x + 3 < \frac{1}{a^2} $

$ x < \frac{1}{a^2} - 3 $

Учитывая ОДЗ ($ x \ge -3 $), получаем решение: $ -3 \le x < \frac{1}{a^2} - 3 $.

Случай 2: $ a = 0 $

Неравенство принимает вид $ 0 \cdot \sqrt{x + 3} < 1 $, то есть $ 0 < 1 $. Это верное числовое неравенство, поэтому оно выполняется для всех $ x $ из ОДЗ.

Решение: $ x \ge -3 $.

Случай 3: $ a < 0 $

В этом случае левая часть неравенства $ a\sqrt{x + 3} $ неположительна ($ \le 0 $) для всех $ x $ из ОДЗ, а правая часть равна 1. Неравенство $ (\text{неположительное число}) < 1 $ верно всегда. Следовательно, решением является вся ОДЗ.

Решение: $ x \ge -3 $.

Соберем все случаи вместе.

Ответ: если $ a \le 0 $, то $ x \in [-3, +\infty) $; если $ a > 0 $, то $ x \in [-3, \frac{1}{a^2} - 3) $.