Номер 24, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 24

Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

1. Упростите выражение:

1) $\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \frac{1}{\sin^2 3\beta}$;

2) $\operatorname{tg} 5x \operatorname{ctg} 5x + \operatorname{tg}^2 4x$;

3) $\frac{\cos^2 4\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 4\alpha(\sin^2 4\alpha - 1)}$.

2. Вычислите значения тригонометрических функций угла $\gamma$, если $\cos\gamma = -\frac{3}{8}$ и $\frac{\pi}{2} < \gamma < \pi$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $5\sin^2 \alpha - 2\cos^2 \alpha$;

2) $4\sin^2 \alpha - 3\operatorname{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha$.

4. Упростите выражение

$\sqrt{\sin^2 \alpha(1-\operatorname{ctg}\alpha) + \cos^2 \alpha(1-\operatorname{tg}\alpha)}$, если $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

1. Упростите выражение:

1) $sin^2 \frac{\alpha}{2} + cos^2 \frac{\alpha}{2} - \frac{1}{sin^2 3\beta}$
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 x + cos^2 x = 1$ для аргумента $x = \frac{\alpha}{2}$. Выражение примет вид:
$1 - \frac{1}{sin^2 3\beta}$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{sin^2 3\beta - 1}{sin^2 3\beta}$.
Из основного тригонометрического тождества следует, что $sin^2 3\beta - 1 = -cos^2 3\beta$. Подставим это в числитель:
$\frac{-cos^2 3\beta}{sin^2 3\beta} = -(\frac{cos 3\beta}{sin 3\beta})^2 = -ctg^2 3\beta$.
Ответ: $-ctg^2 3\beta$.

2) $tg 5x \cdot ctg 5x + tg^2 4x$
Используем тождество $tg x \cdot ctg x = 1$ для $x=5x$:
$1 + tg^2 4x$.
Далее используем тождество $1 + tg^2 y = \frac{1}{cos^2 y}$ для $y=4x$:
$1 + tg^2 4x = \frac{1}{cos^2 4x}$.
Ответ: $\frac{1}{cos^2 4x}$.

3) $\frac{cos^2 4\alpha}{1 + tg^2 4\alpha(sin^2 4\alpha - 1)}$
Преобразуем знаменатель. Используем тождества $sin^2 x - 1 = -cos^2 x$ и $tg x = \frac{sin x}{cos x}$.
$1 + tg^2 4\alpha(sin^2 4\alpha - 1) = 1 + tg^2 4\alpha(-cos^2 4\alpha) = 1 + \frac{sin^2 4\alpha}{cos^2 4\alpha} \cdot (-cos^2 4\alpha) = 1 - sin^2 4\alpha$.
По основному тригонометрическому тождеству $1 - sin^2 4\alpha = cos^2 4\alpha$.
Таким образом, все выражение равно:
$\frac{cos^2 4\alpha}{cos^2 4\alpha} = 1$.
Ответ: $1$.

2. Вычислите значения тригонометрических функций угла $\gamma$, если $cos\gamma = -\frac{3}{8}$ и $\frac{\pi}{2} < \gamma < \pi$.

Условие $\frac{\pi}{2} < \gamma < \pi$ означает, что угол $\gamma$ находится во второй координатной четверти. В этой четверти синус положителен ($sin\gamma > 0$), а тангенс и котангенс отрицательны ($tg\gamma < 0$, $ctg\gamma < 0$).
1. Найдем $sin\gamma$ из основного тригонометрического тождества $sin^2 \gamma + cos^2 \gamma = 1$:
$sin^2 \gamma = 1 - cos^2 \gamma = 1 - (-\frac{3}{8})^2 = 1 - \frac{9}{64} = \frac{64-9}{64} = \frac{55}{64}$.
Так как $sin\gamma > 0$, то $sin\gamma = \sqrt{\frac{55}{64}} = \frac{\sqrt{55}}{8}$.
2. Найдем $tg\gamma$ по формуле $tg\gamma = \frac{sin\gamma}{cos\gamma}$:
$tg\gamma = \frac{\frac{\sqrt{55}}{8}}{-\frac{3}{8}} = -\frac{\sqrt{55}}{3}$.
3. Найдем $ctg\gamma$ по формуле $ctg\gamma = \frac{1}{tg\gamma}$:
$ctg\gamma = \frac{1}{-\frac{\sqrt{55}}{3}} = -\frac{3}{\sqrt{55}} = -\frac{3\sqrt{55}}{55}$.
Ответ: $sin\gamma = \frac{\sqrt{55}}{8}$, $tg\gamma = -\frac{\sqrt{55}}{3}$, $ctg\gamma = -\frac{3\sqrt{55}}{55}$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $5sin^2 \alpha - 2cos^2 \alpha$
Чтобы найти область значений, выразим все через одну тригонометрическую функцию. Используем тождество $cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha$:
$5sin^2 \alpha - 2(1 - sin^2 \alpha) = 5sin^2 \alpha - 2 + 2sin^2 \alpha = 7sin^2 \alpha - 2$.
Область значений функции $y=sin^2 \alpha$ — это отрезок $[0, 1]$.
Следовательно, нужно найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(y) = 7y - 2$ на отрезке $[0, 1]$.
Наименьшее значение достигается при $y = 0$: $f(0) = 7 \cdot 0 - 2 = -2$.
Наибольшее значение достигается при $y = 1$: $f(1) = 7 \cdot 1 - 2 = 5$.
Ответ: Наибольшее значение: 5, наименьшее значение: -2.

2) $4sin^2 \alpha - 3ctg^2 \alpha sin^2 \alpha$
Упростим выражение, используя определение котангенса $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$. Это преобразование верно при $sin\alpha \neq 0$.
$4sin^2 \alpha - 3 \cdot (\frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}) \cdot sin^2 \alpha = 4sin^2 \alpha - 3cos^2 \alpha$.
Теперь заменим $cos^2 \alpha$ на $1 - sin^2 \alpha$:
$4sin^2 \alpha - 3(1 - sin^2 \alpha) = 4sin^2 \alpha - 3 + 3sin^2 \alpha = 7sin^2 \alpha - 3$.
Так как исходное выражение содержит $ctg^2 \alpha$, его область определения исключает углы, для которых $sin \alpha = 0$. Значит, $sin^2 \alpha$ не может быть равно 0. Область значений $sin^2 \alpha$ для этого выражения — полуинтервал $(0, 1]$.
Наибольшее значение достигается при $sin^2 \alpha = 1$: $7 \cdot 1 - 3 = 4$.
Наименьшее значение не достигается, так как $sin^2 \alpha$ может быть сколь угодно близко к 0, но не равно ему. Значение выражения $7sin^2 \alpha - 3$ стремится к $7 \cdot 0 - 3 = -3$, но никогда его не достигает.
Ответ: Наибольшее значение: 4, наименьшее значение не существует.

4. Упростите выражение $\sqrt{sin^2 \alpha(1-ctg \alpha) + cos^2 \alpha(1-tg \alpha)}$, если $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Сначала упростим подкоренное выражение:
$sin^2 \alpha(1-ctg \alpha) + cos^2 \alpha(1-tg \alpha) = sin^2 \alpha(1-\frac{cos \alpha}{sin \alpha}) + cos^2 \alpha(1-\frac{sin \alpha}{cos \alpha})$
$= sin^2 \alpha - sin \alpha cos \alpha + cos^2 \alpha - cos \alpha sin \alpha$
$= (sin^2 \alpha + cos^2 \alpha) - 2sin \alpha cos \alpha = 1 - 2sin \alpha cos \alpha$.
Используя $1 = sin^2 \alpha + cos^2 \alpha$, можно представить подкоренное выражение как полный квадрат:
$sin^2 \alpha - 2sin \alpha cos \alpha + cos^2 \alpha = (sin \alpha - cos \alpha)^2$.
Тогда исходное выражение равно:
$\sqrt{(sin \alpha - cos \alpha)^2} = |sin \alpha - cos \alpha|$.
По условию $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, что соответствует четвертой координатной четверти.
В этой четверти $sin \alpha < 0$ и $cos \alpha > 0$.
Следовательно, разность $sin \alpha - cos \alpha$ является отрицательным числом (из отрицательного числа вычитаем положительное).
По определению модуля, $|x| = -x$, если $x < 0$. Значит:
$|sin \alpha - cos \alpha| = -(sin \alpha - cos \alpha) = cos \alpha - sin \alpha$.
Ответ: $cos \alpha - sin \alpha$.