Страница 66 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 23

Свойства и графики функций $y = \text{tg}\,x$ и $y = \text{ctg}\,x$

1. На промежутке $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$ укажите:

1) нули функции $y = \text{tg}\,x$;

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \text{tg}\,x$.

2. Сравните:

1) $\text{tg}\,42^\circ$ и $\text{ctg}\,42^\circ$;

2) $\text{tg}\,61^\circ$ и $\text{ctg}\,32^\circ$;

3) $\text{tg}\,51^\circ$ и $\cos\,6^\circ$.

3. Постройте график функции:

1) $y = -2\text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

2) $y = \text{tg}\,2|x|$;

3) $y = \text{ctg}\,x + |\text{ctg}\,x|$.

1) нули функции y = tg x;

Нули функции $y = \text{tg}\,x$ находятся в точках, где $\text{tg}\,x = 0$. Это эквивалентно уравнению $\sin x = 0$, решения которого имеют вид $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целое число). Теперь найдем, какие из этих значений попадают в заданный промежуток $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$. Подставим различные целые значения $n$:

• При $n = -1$, $x = -\pi$. Это значение не входит в промежуток, так как $-\pi < -\frac{\pi}{6}$.
• При $n = 0$, $x = 0$. Это значение входит в промежуток, так как $-\frac{\pi}{6} \le 0 \le \frac{5\pi}{6}$.
• При $n = 1$, $x = \pi$. Это значение не входит в промежуток, так как $\pi > \frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, на данном промежутке есть только один нуль функции.

Ответ: $x=0$.

2) числа, которые не принадлежат области определения функции y = tg x.

Область определения функции $y = \text{tg}\,x$ - это все действительные числа, кроме тех, в которых $\cos x = 0$. Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Найдем, какие из этих значений попадают в заданный промежуток $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$. Подставим различные целые значения $n$:

• При $n = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$. Это значение не входит в промежуток, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{6}$.
• При $n = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Это значение входит в промежуток, так как $-\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} \le \frac{5\pi}{6}$ (поскольку $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$).
• При $n = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$. Это значение не входит в промежуток, так как $\frac{3\pi}{2} > \frac{5\pi}{6}$.

Следовательно, на данном промежутке есть только одно число, не принадлежащее области определения тангенса.

Ответ: $x=\frac{\pi}{2}$.

1) tg 42° и ctg 42°

Угол 42° находится в первой четверти ($0° < 42° < 90°$). В этой четверти значения тангенса и котангенса положительны. Известно, что $\text{tg}\,45° = 1$. Функция $y=\text{tg}\,x$ возрастает на интервале $(0°, 90°)$. Поскольку $42° < 45°$, то $\text{tg}\,42° < \text{tg}\,45°$, то есть $0 < \text{tg}\,42° < 1$. Используем свойство $\text{ctg}\,x = \frac{1}{\text{tg}\,x}$. Тогда $\text{ctg}\,42° = \frac{1}{\text{tg}\,42°}$. Так как $0 < \text{tg}\,42° < 1$, то обратное ему число $\frac{1}{\text{tg}\,42°}$ будет больше 1. Следовательно, $\text{ctg}\,42° > 1$. Сравнивая, получаем: $\text{tg}\,42° < 1 < \text{ctg}\,42°$.

Ответ: $\text{tg}\,42° < \text{ctg}\,42°$.

2) tg 61° и ctg 32°

Используем формулу приведения: $\text{ctg}\,\alpha = \text{tg}\,(90° - \alpha)$. Применим ее к $\text{ctg}\,32°$: $\text{ctg}\,32° = \text{tg}\,(90° - 32°) = \text{tg}\,58°$. Теперь задача сводится к сравнению $\text{tg}\,61°$ и $\text{tg}\,58°$. Оба угла, 61° и 58°, находятся в первой четверти, где функция $y=\text{tg}\,x$ возрастает. Поскольку $61° > 58°$, то $\text{tg}\,61° > \text{tg}\,58°$. Следовательно, $\text{tg}\,61° > \text{ctg}\,32°$.

Ответ: $\text{tg}\,61° > \text{ctg}\,32°$.

3) tg 51° и cos 6°

Рассмотрим каждое значение по отдельности. Угол 51° находится в первой четверти. Так как $51° > 45°$, а функция $y=\text{tg}\,x$ возрастает в первой четверти, то $\text{tg}\,51° > \text{tg}\,45° = 1$. Угол 6° также находится в первой четверти. Функция $y=\cos x$ убывает на интервале $(0°, 90°)$. Так как $0° < 6° < 90°$, то $\cos 90° < \cos 6° < \cos 0°$, что означает $0 < \cos 6° < 1$. Сравнивая полученные оценки, имеем: $\text{tg}\,51° > 1$ и $\cos 6° < 1$. Отсюда следует, что $\text{tg}\,51° > \cos 6°$.

Ответ: $\text{tg}\,51° > \cos 6°$.

1) $y = -2\text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

Построение графика этой функции можно выполнить в несколько шагов, основываясь на графике базовой функции $y = \text{ctg}\,x$:

1. $y = \text{ctg}\,x$: Стандартный график котангенса с вертикальными асимптотами $x = \pi n$ и нулями в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $y = \text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$: Сдвиг графика $y = \text{ctg}\,x$ вправо на $\frac{\pi}{4}$. Асимптоты теперь находятся в точках $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, а нули — в $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.
3. $y = 2\text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$: Растяжение предыдущего графика вдоль оси OY в 2 раза. Каждая ордината точки графика умножается на 2.
4. $y = -2\text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$: Симметричное отражение графика $y = 2\text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ относительно оси OX. Убывающая функция становится возрастающей на каждом интервале области определения.

Свойства итогового графика:

• Период: $T = \pi$.
• Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции (точки пересечения с осью OX): $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Функция возрастает на каждом интервале своей области определения, например, на $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)$.
• Контрольные точки на одном из периодов: $\left(\frac{\pi}{2}, -2\right)$, $\left(\pi, 2\right)$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \text{ctg}\,x$ сдвигом вправо на $\frac{\pi}{4}$, растяжением по вертикали в 2 раза и последующим отражением относительно оси OX.

2) $y = \text{tg}\,2|x|$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = \text{tg}\,2|-x| = \text{tg}\,2|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY. Поэтому можно построить график для $x \ge 0$, а затем отразить его симметрично относительно оси OY.

Шаг 1: Построение для $x \ge 0$.
При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \text{tg}\,(2x)$. Это график функции $y = \text{tg}\,x$, сжатый по горизонтали в 2 раза.

• Период этой функции $T = \frac{\pi}{2}$.
• Вертикальные асимптоты: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$. Для $x \ge 0$ это $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \dots$
• Нули функции: $2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$. Для $x \ge 0$ это $x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \dots$

Шаг 2: Построение для $x < 0$.
Отражаем часть графика, построенную для $x \ge 0$, симметрично относительно оси OY. В результате, например, асимптота $x = \frac{\pi}{4}$ отразится в асимптоту $x = -\frac{\pi}{4}$. Ветвь графика на интервале $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$, уходящая в $+\infty$, отразится в ветвь на интервале $\left(-\frac{\pi}{4}, 0\right)$, также уходящую в $+\infty$ при приближении к асимптоте. В точке $x=0$ образуется "излом" (острый минимум).

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=\text{tg}\,(2x)$ (тангенс, сжатый в 2 раза по горизонтали). Часть графика для $x < 0$ получается отражением части для $x \ge 0$ относительно оси OY.

3) $y = \text{ctg}\,x + |\text{ctg}\,x|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $\text{ctg}\,x \ge 0$.
Это происходит, когда $x$ находится в I или III координатных четвертях, то есть на интервалах вида $\left(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n\right]$, где $n \in \mathbb{Z}$ (с учетом области определения котангенса). В этом случае $|\text{ctg}\,x| = \text{ctg}\,x$, и функция принимает вид: $y = \text{ctg}\,x + \text{ctg}\,x = 2\text{ctg}\,x$.

Случай 2: $\text{ctg}\,x < 0$.
Это происходит, когда $x$ находится во II или IV координатных четвертях, то есть на интервалах вида $\left(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\text{ctg}\,x| = -\text{ctg}\,x$, и функция принимает вид: $y = \text{ctg}\,x - \text{ctg}\,x = 0$.

Таким образом, график функции состоит из следующих частей:

• На интервалах, где котангенс отрицателен (например, на $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$, и т.д.), график функции - это отрезок оси OX ($y=0$).
• На интервалах, где котангенс положителен (например, на $\left(0, \frac{\pi}{2}\right]$, $\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right]$, и т.д.), график совпадает с графиком функции $y = 2\text{ctg}\,x$. Это график котангенса, растянутый в 2 раза вдоль оси OY.

Вертикальные асимптоты графика находятся там же, где и у $y = \text{ctg}\,x$, то есть в точках $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции представляет собой совокупность ветвей графика $y=2\text{ctg}\,x$ на интервалах, где $\text{ctg}\,x > 0$, и отрезков оси абсцисс на интервалах, где $\text{ctg}\,x \le 0$.

Самостоятельная работа № 24

Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

1. Упростите выражение:

1) $\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \frac{1}{\sin^2 3\beta}$;

2) $\operatorname{tg} 5x \operatorname{ctg} 5x + \operatorname{tg}^2 4x$;

3) $\frac{\cos^2 4\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 4\alpha(\sin^2 4\alpha - 1)}$.

2. Вычислите значения тригонометрических функций угла $\gamma$, если $\cos\gamma = -\frac{3}{8}$ и $\frac{\pi}{2} < \gamma < \pi$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $5\sin^2 \alpha - 2\cos^2 \alpha$;

2) $4\sin^2 \alpha - 3\operatorname{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha$.

4. Упростите выражение

$\sqrt{\sin^2 \alpha(1-\operatorname{ctg}\alpha) + \cos^2 \alpha(1-\operatorname{tg}\alpha)}$, если $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

1. Упростите выражение:

1) $sin^2 \frac{\alpha}{2} + cos^2 \frac{\alpha}{2} - \frac{1}{sin^2 3\beta}$
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 x + cos^2 x = 1$ для аргумента $x = \frac{\alpha}{2}$. Выражение примет вид:
$1 - \frac{1}{sin^2 3\beta}$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{sin^2 3\beta - 1}{sin^2 3\beta}$.
Из основного тригонометрического тождества следует, что $sin^2 3\beta - 1 = -cos^2 3\beta$. Подставим это в числитель:
$\frac{-cos^2 3\beta}{sin^2 3\beta} = -(\frac{cos 3\beta}{sin 3\beta})^2 = -ctg^2 3\beta$.
Ответ: $-ctg^2 3\beta$.

2) $tg 5x \cdot ctg 5x + tg^2 4x$
Используем тождество $tg x \cdot ctg x = 1$ для $x=5x$:
$1 + tg^2 4x$.
Далее используем тождество $1 + tg^2 y = \frac{1}{cos^2 y}$ для $y=4x$:
$1 + tg^2 4x = \frac{1}{cos^2 4x}$.
Ответ: $\frac{1}{cos^2 4x}$.

3) $\frac{cos^2 4\alpha}{1 + tg^2 4\alpha(sin^2 4\alpha - 1)}$
Преобразуем знаменатель. Используем тождества $sin^2 x - 1 = -cos^2 x$ и $tg x = \frac{sin x}{cos x}$.
$1 + tg^2 4\alpha(sin^2 4\alpha - 1) = 1 + tg^2 4\alpha(-cos^2 4\alpha) = 1 + \frac{sin^2 4\alpha}{cos^2 4\alpha} \cdot (-cos^2 4\alpha) = 1 - sin^2 4\alpha$.
По основному тригонометрическому тождеству $1 - sin^2 4\alpha = cos^2 4\alpha$.
Таким образом, все выражение равно:
$\frac{cos^2 4\alpha}{cos^2 4\alpha} = 1$.
Ответ: $1$.

2. Вычислите значения тригонометрических функций угла $\gamma$, если $cos\gamma = -\frac{3}{8}$ и $\frac{\pi}{2} < \gamma < \pi$.

Условие $\frac{\pi}{2} < \gamma < \pi$ означает, что угол $\gamma$ находится во второй координатной четверти. В этой четверти синус положителен ($sin\gamma > 0$), а тангенс и котангенс отрицательны ($tg\gamma < 0$, $ctg\gamma < 0$).
1. Найдем $sin\gamma$ из основного тригонометрического тождества $sin^2 \gamma + cos^2 \gamma = 1$:
$sin^2 \gamma = 1 - cos^2 \gamma = 1 - (-\frac{3}{8})^2 = 1 - \frac{9}{64} = \frac{64-9}{64} = \frac{55}{64}$.
Так как $sin\gamma > 0$, то $sin\gamma = \sqrt{\frac{55}{64}} = \frac{\sqrt{55}}{8}$.
2. Найдем $tg\gamma$ по формуле $tg\gamma = \frac{sin\gamma}{cos\gamma}$:
$tg\gamma = \frac{\frac{\sqrt{55}}{8}}{-\frac{3}{8}} = -\frac{\sqrt{55}}{3}$.
3. Найдем $ctg\gamma$ по формуле $ctg\gamma = \frac{1}{tg\gamma}$:
$ctg\gamma = \frac{1}{-\frac{\sqrt{55}}{3}} = -\frac{3}{\sqrt{55}} = -\frac{3\sqrt{55}}{55}$.
Ответ: $sin\gamma = \frac{\sqrt{55}}{8}$, $tg\gamma = -\frac{\sqrt{55}}{3}$, $ctg\gamma = -\frac{3\sqrt{55}}{55}$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $5sin^2 \alpha - 2cos^2 \alpha$
Чтобы найти область значений, выразим все через одну тригонометрическую функцию. Используем тождество $cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha$:
$5sin^2 \alpha - 2(1 - sin^2 \alpha) = 5sin^2 \alpha - 2 + 2sin^2 \alpha = 7sin^2 \alpha - 2$.
Область значений функции $y=sin^2 \alpha$ — это отрезок $[0, 1]$.
Следовательно, нужно найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(y) = 7y - 2$ на отрезке $[0, 1]$.
Наименьшее значение достигается при $y = 0$: $f(0) = 7 \cdot 0 - 2 = -2$.
Наибольшее значение достигается при $y = 1$: $f(1) = 7 \cdot 1 - 2 = 5$.
Ответ: Наибольшее значение: 5, наименьшее значение: -2.

2) $4sin^2 \alpha - 3ctg^2 \alpha sin^2 \alpha$
Упростим выражение, используя определение котангенса $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$. Это преобразование верно при $sin\alpha \neq 0$.
$4sin^2 \alpha - 3 \cdot (\frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}) \cdot sin^2 \alpha = 4sin^2 \alpha - 3cos^2 \alpha$.
Теперь заменим $cos^2 \alpha$ на $1 - sin^2 \alpha$:
$4sin^2 \alpha - 3(1 - sin^2 \alpha) = 4sin^2 \alpha - 3 + 3sin^2 \alpha = 7sin^2 \alpha - 3$.
Так как исходное выражение содержит $ctg^2 \alpha$, его область определения исключает углы, для которых $sin \alpha = 0$. Значит, $sin^2 \alpha$ не может быть равно 0. Область значений $sin^2 \alpha$ для этого выражения — полуинтервал $(0, 1]$.
Наибольшее значение достигается при $sin^2 \alpha = 1$: $7 \cdot 1 - 3 = 4$.
Наименьшее значение не достигается, так как $sin^2 \alpha$ может быть сколь угодно близко к 0, но не равно ему. Значение выражения $7sin^2 \alpha - 3$ стремится к $7 \cdot 0 - 3 = -3$, но никогда его не достигает.
Ответ: Наибольшее значение: 4, наименьшее значение не существует.

4. Упростите выражение $\sqrt{sin^2 \alpha(1-ctg \alpha) + cos^2 \alpha(1-tg \alpha)}$, если $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Сначала упростим подкоренное выражение:
$sin^2 \alpha(1-ctg \alpha) + cos^2 \alpha(1-tg \alpha) = sin^2 \alpha(1-\frac{cos \alpha}{sin \alpha}) + cos^2 \alpha(1-\frac{sin \alpha}{cos \alpha})$
$= sin^2 \alpha - sin \alpha cos \alpha + cos^2 \alpha - cos \alpha sin \alpha$
$= (sin^2 \alpha + cos^2 \alpha) - 2sin \alpha cos \alpha = 1 - 2sin \alpha cos \alpha$.
Используя $1 = sin^2 \alpha + cos^2 \alpha$, можно представить подкоренное выражение как полный квадрат:
$sin^2 \alpha - 2sin \alpha cos \alpha + cos^2 \alpha = (sin \alpha - cos \alpha)^2$.
Тогда исходное выражение равно:
$\sqrt{(sin \alpha - cos \alpha)^2} = |sin \alpha - cos \alpha|$.
По условию $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, что соответствует четвертой координатной четверти.
В этой четверти $sin \alpha < 0$ и $cos \alpha > 0$.
Следовательно, разность $sin \alpha - cos \alpha$ является отрицательным числом (из отрицательного числа вычитаем положительное).
По определению модуля, $|x| = -x$, если $x < 0$. Значит:
$|sin \alpha - cos \alpha| = -(sin \alpha - cos \alpha) = cos \alpha - sin \alpha$.
Ответ: $cos \alpha - sin \alpha$.