Страница 64 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 20

Знаки значений тригонометрических функций.

Чётность и нечётность тригонометрических функций

1. Найдите значение выражения

$2\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \sin(-\pi) + 5\sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right).$

2. Сравните:

1) $\cos 70^\circ$ и $\sin 340^\circ$;

2) $\operatorname{tg} 100^\circ$ и $\operatorname{ctg} (-100^\circ)$;

3) $\operatorname{ctg} \frac{5\pi}{4}$ и $\cos \frac{5\pi}{6}$;

4) $\cos 6$ и $\sin 4$.

3. Углом какой координатной четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\sin \alpha < 0$ и $\sin \alpha \cos \alpha > 0$;

2) $|\sin \alpha| = -\sin \alpha$ и $\sin \alpha \cos \alpha < 0$?

4. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{x \operatorname{ctg} x}{5 - \cos x}$;

2) $f(x) = \frac{\operatorname{tg} x}{4 - |x|}$;

3) $f(x) = \frac{(x - 1)\cos x}{x - 1}$.

1. Найдите значение выражения

Для вычисления значения выражения воспользуемся свойствами чётности и нечётности тригонометрических функций, а также их табличными значениями.
Функции $y = \sin x$, $y = \tg x$, $y = \ctg x$ являются нечётными, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$, $\tg(-x) = -\tg(x)$, $\ctg(-x) = -\ctg(x)$.
Функция $y = \cos x$ является чётной, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$.
Преобразуем выражение:
$2\tg(-\frac{\pi}{3})\ctg(-\frac{\pi}{6}) + \sin(-\pi) + 5\sin^2(-\frac{\pi}{3}) = 2(-\tg\frac{\pi}{3})(-\ctg\frac{\pi}{6}) - \sin(\pi) + 5(-\sin\frac{\pi}{3})^2$
Подставим табличные значения $\tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, $\ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$, $\sin\pi = 0$, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$2(-\sqrt{3})(-\sqrt{3}) - 0 + 5(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2 \cdot 3 + 5 \cdot \frac{3}{4} = 6 + \frac{15}{4} = \frac{24+15}{4} = \frac{39}{4}$.
Ответ: $\frac{39}{4}$.

2. Сравните:

1) $\cos 70^\circ$ и $\sin 340^\circ$

Определим знаки значений функций. Угол $70^\circ$ находится в I координатной четверти, поэтому $\cos 70^\circ > 0$. Угол $340^\circ$ находится в IV координатной четверти, поэтому $\sin 340^\circ < 0$. Так как любое положительное число больше любого отрицательного, то $\cos 70^\circ > \sin 340^\circ$.
Ответ: $\cos 70^\circ > \sin 340^\circ$.

2) $\tg 100^\circ$ и $\ctg(-100^\circ)$

Угол $100^\circ$ находится во II координатной четверти, где тангенс отрицателен, т.е. $\tg 100^\circ < 0$. Функция котангенс нечётная, поэтому $\ctg(-100^\circ) = -\ctg(100^\circ)$. Во II четверти котангенс также отрицателен ($\ctg 100^\circ < 0$), следовательно, $-\ctg(100^\circ) > 0$. Сравнивая отрицательное число $\tg 100^\circ$ и положительное $\ctg(-100^\circ)$, получаем $\tg 100^\circ < \ctg(-100^\circ)$.
Ответ: $\tg 100^\circ < \ctg(-100^\circ)$.

3) $\ctg \frac{5\pi}{4}$ и $\cos \frac{5\pi}{6}$

Найдем значения выражений. Угол $\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$ находится в III четверти, поэтому $\ctg \frac{5\pi}{4} = \ctg \frac{\pi}{4} = 1$. Угол $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$ находится во II четверти, поэтому $\cos \frac{5\pi}{6} = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Сравнивая $1$ и $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем $1 > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\ctg \frac{5\pi}{4} > \cos \frac{5\pi}{6}$.

4) $\cos 6$ и $\sin 4$

Определим, в каких четвертях находятся углы, заданные в радианах, используя приближение $\pi \approx 3.14$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.
Для угла $6$: $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$ ($4.71 < 6 < 6.28$), это IV четверть. Косинус в IV четверти положителен, $\cos 6 > 0$.
Для угла $4$: $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ ($3.14 < 4 < 4.71$), это III четверть. Синус в III четверти отрицателен, $\sin 4 < 0$.
Так как положительное число всегда больше отрицательного, $\cos 6 > \sin 4$.
Ответ: $\cos 6 > \sin 4$.

3. Углом какой координатной четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\sin \alpha < 0$ и $\sin \alpha \cos \alpha > 0$

Из условия $\sin \alpha < 0$ следует, что угол $\alpha$ принадлежит III или IV четверти. Из условия, что произведение $\sin \alpha \cos \alpha$ положительно, и зная, что $\sin \alpha < 0$, следует, что и $\cos \alpha$ должен быть отрицателен. Условиям $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha < 0$ удовлетворяют углы, расположенные в III координатной четверти.
Ответ: III четверть.

2) $|\sin \alpha| = -\sin \alpha$ и $\sin \alpha \cos \alpha < 0$

Равенство $|\sin \alpha| = -\sin \alpha$ выполняется только при $\sin \alpha \le 0$, что соответствует углам в III и IV четвертях. Из условия, что произведение $\sin \alpha \cos \alpha$ отрицательно, и зная, что $\sin \alpha < 0$, следует, что $\cos \alpha$ должен быть положителен. Условиям $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha > 0$ удовлетворяют углы, расположенные в IV координатной четверти.
Ответ: IV четверть.

4. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{x \ctg x}{5 - \cos x}$

Область определения функции $D(f)$: $x \ne k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{(-x) \ctg(-x)}{5 - \cos(-x)} = \frac{(-x)(-\ctg x)}{5 - \cos x} = \frac{x \ctg x}{5 - \cos x} = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

2) $f(x) = \frac{\tg x}{4 - |x|}$

Область определения $D(f)$: $x \ne \pm 4$ и $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{\tg(-x)}{4 - |-x|} = \frac{-\tg x}{4 - |x|} = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

3) $f(x) = \frac{(x-1)\cos x}{x-1}$

Область определения функции $D(f)$: $x - 1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$. Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат, так как точка $-1$ принадлежит области определения, а точка $1$ — нет.
Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

Самостоятельная работа № 21

Периодические функции

1. Найдите значение выражения:

1) $ \cos 390^\circ $;

2) $ \sin \frac{25\pi}{4} $;

3) $ \operatorname{ctg} \left(-\frac{35\pi}{6}\right) $.

2. На рисунке 17 изображена часть графика периодической функции, период которой равен T. Постройте график этой функции на промежутке $ [-2T; 2T] $ .

Рис. 17

3. Покажите, что число T является периодом функции $ f $ :

1) $ f(x) = \sin \frac{x}{2} $, $ T = 4\pi $;

2) $ f(x) = \operatorname{ctg} \pi x $, $ T = 2 $.

4. Найдите период функции $ f(x) = \operatorname{tg} 4x + \sin \frac{4x}{3} $ .

5. Найдите все значения параметра $ a $ , при которых число $ T = \frac{4\pi}{3} $ является периодом функции $ f(x) = \operatorname{tg} ax $ .

1) cos 390°
Используем периодичность функции косинус, основной период которой равен $360^\circ$. Представим $390^\circ$ в виде $360^\circ + 30^\circ$.
$\cos(390^\circ) = \cos(360^\circ + 30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) sin $\frac{25\pi}{4}$
Используем периодичность функции синус, основной период которой равен $2\pi$. Представим дробь $\frac{25\pi}{4}$ в виде суммы целого числа периодов и угла в пределах от 0 до $2\pi$.
$\frac{25\pi}{4} = \frac{24\pi + \pi}{4} = 6\pi + \frac{\pi}{4} = 3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{4}$.
$\sin(\frac{25\pi}{4}) = \sin(6\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3) ctg $(-\frac{35\pi}{6})$
Используем свойство нечетности функции котангенс, то есть $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$, и ее периодичность (основной период равен $\pi$).
$\text{ctg}(-\frac{35\pi}{6}) = -\text{ctg}(\frac{35\pi}{6})$.
Представим аргумент $\frac{35\pi}{6}$ как $\frac{36\pi - \pi}{6} = 6\pi - \frac{\pi}{6}$.
$-\text{ctg}(\frac{35\pi}{6}) = -\text{ctg}(6\pi - \frac{\pi}{6}) = -\text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = -(-\text{ctg}(\frac{\pi}{6})) = \text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

a)
Исходный график задан на промежутке $(0, T]$. Для построения графика на промежутке $[-2T, 2T]$ необходимо повторить данный фрагмент, сдвигая его на $T$ влево и вправо.

Ответ: График построен выше.

б)
Исходный график задан на промежутке $[-T/2, T/2]$, который является одним периодом. Для построения графика на промежутке $[-2T, 2T]$ необходимо повторить данный фрагмент, сдвигая его на целое число периодов $T$ влево и вправо.

Ответ: График построен выше.

1) $f(x) = \sin\frac{x}{2}, T = 4\pi$
Число $T$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции $f(x) = \sin\frac{x}{2}$ — все действительные числа. Проверим равенство:
$f(x+4\pi) = \sin(\frac{x+4\pi}{2}) = \sin(\frac{x}{2} + \frac{4\pi}{2}) = \sin(\frac{x}{2} + 2\pi)$.
Так как $2\pi$ является основным периодом синуса, то $\sin(\frac{x}{2} + 2\pi) = \sin(\frac{x}{2}) = f(x)$.
Равенство выполняется, следовательно, $T=4\pi$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=4\pi$ является периодом функции.

2) $f(x) = \text{ctg}(\pi x), T = 2$
Область определения функции $f(x) = \text{ctg}(\pi x)$ — все действительные числа, кроме $x=k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Если $x$ не является целым числом, то и $x+2$ не является целым числом, значит $x+T$ принадлежит области определения. Проверим равенство $f(x+T) = f(x)$:
$f(x+2) = \text{ctg}(\pi(x+2)) = \text{ctg}(\pi x + 2\pi)$.
Так как $\pi$ является основным периодом котангенса, то $2\pi = 2 \cdot \pi$ также является его периодом. Поэтому $\text{ctg}(\pi x + 2\pi) = \text{ctg}(\pi x) = f(x)$.
Равенство выполняется, следовательно, $T=2$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=2$ является периодом функции.

4. Найдите период функции $f(x) = \text{tg}(4x) + \sin\frac{4x}{3}$
Период функции, являющейся суммой двух периодических функций, равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов.
Найдём основной период для каждого слагаемого:
Для $g(x) = \text{tg}(4x)$ основной период $T_1 = \frac{\pi}{|4|} = \frac{\pi}{4}$.
Для $h(x) = \sin(\frac{4x}{3})$ основной период $T_2 = \frac{2\pi}{|4/3|} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$.
Теперь найдём НОК($T_1, T_2$): $T = \text{НОК}(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$.
Ищем наименьшие натуральные числа $k_1$ и $k_2$, для которых $T = k_1 T_1 = k_2 T_2$.
$k_1 \frac{\pi}{4} = k_2 \frac{3\pi}{2} \implies k_1 = 6k_2$.
Наименьшие натуральные значения: $k_2=1$ и $k_1=6$.
Тогда период $T = 1 \cdot T_2 = \frac{3\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

5. Найдите все значения параметра a, при которых число $T = \frac{4\pi}{3}$ является периодом функции $f(x) = \text{tg}(ax)$
Основной (наименьший положительный) период функции $f(x) = \text{tg}(ax)$ равен $T_0 = \frac{\pi}{|a|}$. Любой период $T$ этой функции должен быть кратен основному периоду, то есть $T = k \cdot T_0$ для некоторого целого $k \neq 0$. Так как заданный период $T = \frac{4\pi}{3}$ положителен, можно считать $k$ натуральным числом ($k \in \mathbb{N}$).
Подставим известные значения в равенство $T = k \cdot T_0$:
$\frac{4\pi}{3} = k \cdot \frac{\pi}{|a|}$.
Сократим на $\pi$: $\frac{4}{3} = \frac{k}{|a|}$.
Выразим $|a|$: $|a| = \frac{3k}{4}$.
Следовательно, $a = \pm\frac{3k}{4}$ для любого натурального числа $k$.
Ответ: $a = \pm\frac{3k}{4}$, где $k \in \mathbb{N}$.