Страница 63 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Тригонометрические функции

числового аргумента

1. Найдите значение выражения:

1) $6\sin 270^\circ - 3\cos 0^\circ + 4\operatorname{ctg} 90^\circ$;

2) $5\cos \frac{3\pi}{2} - 7\sin \frac{3\pi}{2} + \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{2}$;

3) $\frac{\left(\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{6}\right) \cdot 4\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{\cos \pi + 2\sin \frac{\pi}{2}}$

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $1 - 5\cos \alpha$; 2) $4 + \sin^2 \alpha$; 3) $\frac{\sin \alpha (3 - \cos \alpha)}{\sin \alpha}$.

3. Найдите область значений выражения:

1) $\operatorname{tg}^2 x + 2$; 2) $\frac{1}{2 - \sin 3x}$; 3) $\frac{1}{1 + \cos 2x}$.

1. Найдите значение выражения:

1) $6\sin{270^\circ} - 3\cos{0^\circ} + 4\text{ctg}{90^\circ}$

Для решения подставим известные значения тригонометрических функций:
$\sin{270^\circ} = -1$
$\cos{0^\circ} = 1$
$\text{ctg}{90^\circ} = \frac{\cos{90^\circ}}{\sin{90^\circ}} = \frac{0}{1} = 0$
Получаем:
$6 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = -6 - 3 + 0 = -9$
Ответ: -9.

2) $5\cos{\frac{3\pi}{2}} - 7\sin{\frac{3\pi}{2}} + \text{ctg}{\frac{3\pi}{2}}$

Подставим значения тригонометрических функций для угла $\frac{3\pi}{2}$ (что соответствует $270^\circ$):
$\cos{\frac{3\pi}{2}} = 0$
$\sin{\frac{3\pi}{2}} = -1$
$\text{ctg}{\frac{3\pi}{2}} = \frac{\cos{\frac{3\pi}{2}}}{\sin{\frac{3\pi}{2}}} = \frac{0}{-1} = 0$
Получаем:
$5 \cdot 0 - 7 \cdot (-1) + 0 = 0 + 7 + 0 = 7$
Ответ: 7.

3) $\frac{(\text{ctg}{\frac{\pi}{6}} + \cos{\frac{\pi}{6}}) \cdot 4\text{tg}{\frac{\pi}{4}}}{\cos{\pi} + 2\sin{\frac{\pi}{2}}}$

Найдем значения тригонометрических функций в числителе и знаменателе.
Значения для числителя:
$\text{ctg}{\frac{\pi}{6}} = \sqrt{3}$
$\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{tg}{\frac{\pi}{4}} = 1$
Значение числителя: $(\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 4 \cdot 1 = (\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}) \cdot 4 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3}$.
Значения для знаменателя:
$\cos{\pi} = -1$
$\sin{\frac{\pi}{2}} = 1$
Значение знаменателя: $-1 + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{6\sqrt{3}}{1} = 6\sqrt{3}$
Ответ: $6\sqrt{3}$.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $1 - 5\cos\alpha$

Область значений функции косинуса: $-1 \le \cos\alpha \le 1$.
Умножим неравенство на -5, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$(-1) \cdot (-5) \ge -5\cos\alpha \ge 1 \cdot (-5)$
$5 \ge -5\cos\alpha \ge -5$, или $-5 \le -5\cos\alpha \le 5$.
Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$1 - 5 \le 1 - 5\cos\alpha \le 1 + 5$
$-4 \le 1 - 5\cos\alpha \le 6$
Наибольшее значение равно 6, наименьшее значение равно -4.
Ответ: наибольшее: 6, наименьшее: -4.

2) $4 + \sin^2\alpha$

Область значений функции синуса: $-1 \le \sin\alpha \le 1$.
При возведении в квадрат значения синуса будут находиться в пределах от 0 до 1:
$0 \le \sin^2\alpha \le 1$.
Прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$4 + 0 \le 4 + \sin^2\alpha \le 4 + 1$
$4 \le 4 + \sin^2\alpha \le 5$
Наибольшее значение равно 5, наименьшее значение равно 4.
Ответ: наибольшее: 5, наименьшее: 4.

3) $\frac{\sin\alpha(3 - \cos\alpha)}{\sin\alpha}$

Упростим выражение, сократив на $\sin\alpha$. Это преобразование справедливо при условии, что $\sin\alpha \neq 0$.
$\frac{\sin\alpha(3 - \cos\alpha)}{\sin\alpha} = 3 - \cos\alpha$.
Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения для выражения $3 - \cos\alpha$.
Область значений функции косинуса: $-1 \le \cos\alpha \le 1$.
Наибольшее значение выражения $3 - \cos\alpha$ достигается, когда $\cos\alpha$ принимает наименьшее значение, то есть -1:
Наибольшее значение: $3 - (-1) = 4$.
Наименьшее значение выражения достигается, когда $\cos\alpha$ принимает наибольшее значение, то есть 1:
Наименьшее значение: $3 - 1 = 2$.
Ответ: наибольшее: 4, наименьшее: 2.

3. Найдите область значений выражения:

1) $\text{tg}^2 x + 2$

Область значений функции тангенса $y = \text{tg}x$ - это все действительные числа, $(-\infty, +\infty)$.
Когда мы возводим тангенс в квадрат, $y = \text{tg}^2 x$, область значений становится неотрицательной: $[0, +\infty)$.
$0 \le \text{tg}^2 x < +\infty$.
Прибавим 2 ко всем частям:
$2 \le \text{tg}^2 x + 2 < +\infty$.
Следовательно, область значений выражения - это промежуток $[2, +\infty)$.
Ответ: $[2, +\infty)$.

2) $\frac{1}{2 - \sin 3x}$

Сначала найдем область значений знаменателя $2 - \sin 3x$.
Область значений функции синуса: $-1 \le \sin 3x \le 1$.
Умножим на -1:
$1 \ge -\sin 3x \ge -1$, или $-1 \le -\sin 3x \le 1$.
Прибавим 2:
$2 - 1 \le 2 - \sin 3x \le 2 + 1$
$1 \le 2 - \sin 3x \le 3$.
Знаменатель принимает значения в отрезке $[1, 3]$. Так как знаменатель всегда положителен, мы можем найти область значений дроби, взяв обратные значения от границ отрезка и поменяв их местами:
$\frac{1}{3} \le \frac{1}{2 - \sin 3x} \le \frac{1}{1}$.
Область значений - это отрезок $[\frac{1}{3}, 1]$.
Ответ: $[\frac{1}{3}, 1]$.

3) $\frac{1}{1 + \cos 2x}$

Найдем область значений знаменателя $1 + \cos 2x$.
Выражение имеет смысл, только если знаменатель не равен нулю:
$1 + \cos 2x \neq 0 \implies \cos 2x \neq -1$.
Область значений функции косинуса - $[-1, 1]$. С учетом нашего ограничения, $\cos 2x$ может принимать любые значения из полуинтервала $(-1, 1]$.
$-1 < \cos 2x \le 1$.
Прибавим 1 ко всем частям:
$1 - 1 < 1 + \cos 2x \le 1 + 1$
$0 < 1 + \cos 2x \le 2$.
Знаменатель принимает значения в полуинтервале $(0, 2]$.
Теперь найдем область значений для дроби $\frac{1}{1 + \cos 2x}$.
Наименьшее значение будет $\frac{1}{2}$ (когда знаменатель максимален).
Когда знаменатель $1 + \cos 2x$ стремится к 0 (справа, оставаясь положительным), значение дроби стремится к $+\infty$.
Таким образом, область значений выражения - это промежуток $[\frac{1}{2}, +\infty)$.
Ответ: $[\frac{1}{2}, +\infty)$.