Страница 68 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 27

Формулы двойного, тройного и половинного углов

1. Дано: $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$, $180^\circ < \alpha < 270^\circ$. Найдите:

1) $\sin 2\alpha$;

2) $\cos 2\alpha$;

3) $\text{tg } 4\alpha$.

2. Понизьте степень выражения:

1) $\sin^2 \frac{\alpha}{4}$;

2) $\cos^2 \left(\frac{\varphi}{6} - \frac{\pi}{14}\right)$.

3. Докажите тождество:

1) $2\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos \alpha = 1$;

2) $\text{ctg } 2\alpha(1 - \cos 4\alpha) = \sin 4\alpha$.

4. Упростите выражение:

1) $\frac{\text{tg}\left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right)\sin^2\left(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha\right)}{1 - 2\cos^2 4\alpha}$;

2) $\sqrt{2 + 2\cos 8\alpha}$, если $\frac{\pi}{8} < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

5. Найдите значение выражения: $\cos 20^\circ(1 - 4\sin^2 20^\circ)$.

1.

Дано $ \cos\alpha = -\frac{5}{13} $ и $ 180^\circ < \alpha < 270^\circ $. Угол $ \alpha $ находится в третьей координатной четверти, где и синус, и косинус отрицательны.

Найдем $ \sin\alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169-25}{169} = \frac{144}{169} $.

Так как $ \alpha $ в третьей четверти, $ \sin\alpha < 0 $, следовательно $ \sin\alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} $.

1) sin 2α

Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha $.

$ \sin 2\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{120}{169} $.

Ответ: $ \frac{120}{169} $.

2) cos 2α

Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.

$ \cos 2\alpha = \left(-\frac{5}{13}\right)^2 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{25}{169} - \frac{144}{169} = -\frac{119}{169} $.

Ответ: $ -\frac{119}{169} $.

3) tg 4α

Сначала найдем $ \tg 2\alpha $: $ \tg 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{120/169}{-119/169} = -\frac{120}{119} $.

Теперь используем формулу тангенса двойного угла для $ \tg 4\alpha = \tg(2 \cdot 2\alpha) $: $ \tg(2x) = \frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x} $.

$ \tg 4\alpha = \frac{2\tg 2\alpha}{1 - \tg^2 2\alpha} = \frac{2 \cdot (-\frac{120}{119})}{1 - (-\frac{120}{119})^2} = \frac{-\frac{240}{119}}{1 - \frac{14400}{14161}} = \frac{-\frac{240}{119}}{\frac{14161 - 14400}{14161}} = \frac{-\frac{240}{119}}{-\frac{239}{14161}} = \frac{240}{119} \cdot \frac{14161}{239} = \frac{240}{119} \cdot \frac{119^2}{239} = \frac{240 \cdot 119}{239} = \frac{28560}{239} $.

Ответ: $ \frac{28560}{239} $.

2.

Для понижения степени используются формулы: $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $ и $ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} $.

1) sin² (α/4)

Применим формулу понижения степени для синуса, где $ x = \frac{\alpha}{4} $. Тогда $ 2x = 2 \cdot \frac{\alpha}{4} = \frac{\alpha}{2} $.

$ \sin^2\frac{\alpha}{4} = \frac{1 - \cos\frac{\alpha}{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{1 - \cos(\alpha/2)}{2} $.

2) cos² (φ/6 - π/14)

Применим формулу понижения степени для косинуса, где $ x = \frac{\varphi}{6} - \frac{\pi}{14} $. Тогда $ 2x = 2 \left(\frac{\varphi}{6} - \frac{\pi}{14}\right) = \frac{\varphi}{3} - \frac{\pi}{7} $.

$ \cos^2\left(\frac{\varphi}{6} - \frac{\pi}{14}\right) = \frac{1 + \cos\left(\frac{\varphi}{3} - \frac{\pi}{7}\right)}{2} $.

Ответ: $ \frac{1 + \cos(\varphi/3 - \pi/7)}{2} $.

3.

1) 2sin² (α/2) + cosα = 1

Преобразуем левую часть тождества, используя формулу половинного угла $ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} $.

$ 2\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos\alpha = 2 \cdot \frac{1 - \cos\alpha}{2} + \cos\alpha = 1 - \cos\alpha + \cos\alpha = 1 $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) ctg 2α (1 - cos 4α) = sin 4α

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулы $ \ctg 2\alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} $ и $ 1 - \cos 4\alpha = 2\sin^2 2\alpha $.

$ \ctg 2\alpha (1 - \cos 4\alpha) = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \cdot (2\sin^2 2\alpha) = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha $.

По формуле синуса двойного угла $ 2\sin x \cos x = \sin 2x $, при $ x = 2\alpha $ получаем:

$ 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin 4\alpha $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4.

1) $ \frac{\tg\left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right)\sin^2\left(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha\right)}{1 - 2\cos^2 4\alpha} $

Упростим числитель и знаменатель по отдельности. Используем формулы приведения:

$ \tg\left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right) = \tg\left(\pi + \frac{\pi}{4} - 4\alpha\right) = \tg\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right) $.

$ \sin^2\left(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha\right) = \sin^2\left(\pi + \frac{\pi}{4} + 4\alpha\right) = \left(-\sin\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)\right)^2 = \sin^2\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right) $.

Знаменатель: $ 1 - 2\cos^2 4\alpha = -(2\cos^2 4\alpha - 1) = -\cos(8\alpha) $.

Выражение принимает вид: $ \frac{\tg\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)}{-\cos 8\alpha} $.

Преобразуем числитель: $ \tg\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right) $.

Так как $ \cos(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - 4\alpha)) = \sin(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $, числитель равен:

$ \frac{\sin(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} + 4\alpha)}\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right) $.

Используем формулу произведения синусов $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B)) $:

$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right) = \frac{1}{2}\left(\cos(8\alpha) - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}(\cos(8\alpha) - 0) = \frac{1}{2}\cos 8\alpha $.

Теперь подставим числитель и знаменатель в исходное выражение:

$ \frac{\frac{1}{2}\cos 8\alpha}{-\cos 8\alpha} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $.

2) $ \sqrt{2 + 2\cos 8\alpha} $, если $ \frac{\pi}{8} < \alpha < \frac{\pi}{4} $

Вынесем 2 за скобки под корнем: $ \sqrt{2(1 + \cos 8\alpha)} $.

Используем формулу $ 1 + \cos 2x = 2\cos^2 x $. При $ 2x = 8\alpha $, получаем $ x = 4\alpha $.

$ \sqrt{2 \cdot 2\cos^2 4\alpha} = \sqrt{4\cos^2 4\alpha} = |2\cos 4\alpha| $.

Определим знак $ \cos 4\alpha $. Из условия $ \frac{\pi}{8} < \alpha < \frac{\pi}{4} $ следует, что $ 4 \cdot \frac{\pi}{8} < 4\alpha < 4 \cdot \frac{\pi}{4} $, то есть $ \frac{\pi}{2} < 4\alpha < \pi $.

Угол $ 4\alpha $ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Поэтому $ \cos 4\alpha < 0 $.

Следовательно, $ |2\cos 4\alpha| = -2\cos 4\alpha $.

Ответ: $ -2\cos 4\alpha $.

5.

Найдем значение выражения $ \cos 20^\circ (1 - 4\sin^2 20^\circ) $.

Преобразуем выражение в скобках, заменив $ \sin^2 20^\circ $ на $ 1 - \cos^2 20^\circ $:

$ 1 - 4\sin^2 20^\circ = 1 - 4(1 - \cos^2 20^\circ) = 1 - 4 + 4\cos^2 20^\circ = 4\cos^2 20^\circ - 3 $.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$ \cos 20^\circ (4\cos^2 20^\circ - 3) = 4\cos^3 20^\circ - 3\cos 20^\circ $.

Полученное выражение является формулой косинуса тройного угла $ \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x $, где $ x = 20^\circ $.

Следовательно, $ 4\cos^3 20^\circ - 3\cos 20^\circ = \cos(3 \cdot 20^\circ) = \cos 60^\circ $.

Значение $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.