Страница 75 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 38

Задачи о мгновенной скорости и касательной к графику функции

1. Для функции $f(x) = 3 - 5x^2$ и точки $x_0$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

2. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 2t^2 + 4$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите мгновенную скорость материальной точки в момент времени $t_0 = 5 \text{ с}$.

3. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = x^2 - 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

1. Дана функция $f(x) = 3 - 5x^2$ и точка $x_0$.
Сначала найдем отношение приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$.
Приращение функции $\Delta f$ равно разности значений функции в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
Подставим выражение для функции $f(x)$:
$\Delta f = (3 - 5(x_0 + \Delta x)^2) - (3 - 5x_0^2)$
Раскроем скобки:
$\Delta f = 3 - 5(x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) - 3 + 5x_0^2$
$\Delta f = 3 - 5x_0^2 - 10x_0\Delta x - 5(\Delta x)^2 - 3 + 5x_0^2$
Упростим выражение:
$\Delta f = -10x_0\Delta x - 5(\Delta x)^2$
Теперь найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-10x_0\Delta x - 5(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(-10x_0 - 5\Delta x)}{\Delta x} = -10x_0 - 5\Delta x$
Далее найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$. Это значение по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
$\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} (-10x_0 - 5\Delta x)$
Подставляя $\Delta x = 0$, получаем:
$\lim_{\Delta x\to 0} (-10x_0 - 5\Delta x) = -10x_0 - 5 \cdot 0 = -10x_0$
Ответ: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -10x_0 - 5\Delta x$; $\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = -10x_0$.

2. Закон движения материальной точки задан функцией $s(t) = 2t^2 + 4$, где $s$ — перемещение в метрах, $t$ — время в секундах.
Мгновенная скорость $v(t)$ материальной точки в момент времени $t$ является производной от функции перемещения $s(t)$ по времени.
$v(t) = s'(t) = (2t^2 + 4)'$
Найдем производную, используя правила дифференцирования:
$v(t) = (2t^2)' + (4)' = 2 \cdot 2t + 0 = 4t$
Чтобы найти мгновенную скорость в момент времени $t_0 = 5$ с, подставим это значение в найденную функцию скорости:
$v(5) = 4 \cdot 5 = 20$ м/с.
Ответ: 20 м/с.

3. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$.
Дана функция $y = x^2 - 1$.
Сначала найдем ее производную $y'$:
$y' = (x^2 - 1)' = (x^2)' - (1)' = 2x - 0 = 2x$
Теперь вычислим значение производной в точке с абсциссой $x_0 = 1$:
$k = y'(1) = 2 \cdot 1 = 2$
Следовательно, угловой коэффициент касательной в указанной точке равен 2.
Ответ: 2.

Самостоятельная работа № 39

Понятие производной

1. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{6 - x}{9}$;

2) $y = \frac{1}{x^{11}};$

3) $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^7}}$.

2. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{4}$;

2) $\varphi(x) = \frac{4x^2}{\sqrt[4]{x}}, x_0 = 16$.

3. Найдите с помощью графика функции $f$ (рис. 19) значения $f'(x_1)$, $f'(x_2)$ и $f'(x_3)$.

Рис. 19

4. Касательная к графику функции $f(x) = x^7$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет угловой коэффициент $k = \frac{7}{64}$. Найдите $x_0$.

5. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = \frac{1}{t^4}$. Найдите $s'(2)$. Какой механический смысл имеет найденная величина?

1. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{6 - x}{9}$

Представим функцию в виде разности двух дробей: $y = \frac{6}{9} - \frac{x}{9} = \frac{2}{3} - \frac{1}{9}x$.
Теперь найдем производную, используя правила дифференцирования. Производная константы $(\frac{2}{3})$ равна нулю, а производная линейной функции $(\frac{1}{9}x)$ равна коэффициенту при $x$.
$y' = (\frac{2}{3} - \frac{1}{9}x)' = (\frac{2}{3})' - (\frac{1}{9}x)' = 0 - \frac{1}{9} = -\frac{1}{9}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{9}$.

2) $y = \frac{1}{x^{11}}$

Перепишем функцию в виде степенной функции с отрицательным показателем: $y = x^{-11}$.
Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = -11x^{-11-1} = -11x^{-12}$.
Запишем результат с положительным показателем степени: $y' = -\frac{11}{x^{12}}$.
Ответ: $y' = -\frac{11}{x^{12}}$.

3) $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^7}}$

Представим функцию в виде степени с рациональным показателем: $y = \frac{1}{x^{7/8}} = x^{-7/8}$.
Применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = -\frac{7}{8}x^{-7/8 - 1} = -\frac{7}{8}x^{-7/8 - 8/8} = -\frac{7}{8}x^{-15/8}$.
Ответ: $y' = -\frac{7}{8}x^{-15/8}$.

2. Вычислите значение производной функции f в точке x₀:

1) $f(x) = \cos x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Сначала найдем производную функции $f(x) = \cos x$. Производная косинуса равна минус синусу:
$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
Затем подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в выражение для производной:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) $\phi(x) = \frac{4x^2}{\sqrt[4]{x}}$, $x_0 = 16$

Сначала упростим выражение для функции, используя свойства степеней: $\sqrt[4]{x} = x^{1/4}$.
$\phi(x) = \frac{4x^2}{x^{1/4}} = 4x^{2 - 1/4} = 4x^{8/4 - 1/4} = 4x^{7/4}$.
Теперь найдем производную полученной степенной функции:
$\phi'(x) = (4x^{7/4})' = 4 \cdot \frac{7}{4}x^{7/4 - 1} = 7x^{3/4}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 16$:
$\phi'(16) = 7 \cdot (16)^{3/4} = 7 \cdot (\sqrt[4]{16})^3 = 7 \cdot 2^3 = 7 \cdot 8 = 56$.
Ответ: 56.

3. Найдите с помощью графика функции f (рис. 19) значения f'(x₁), f'(x₂) и f'(x₃).

Геометрический смысл производной заключается в том, что ее значение в точке равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке: $f'(x_0) = k = \tan(\alpha)$.
Для точки $x_1$: угол наклона касательной к положительному направлению оси Ox составляет $30^\circ$.
$f'(x_1) = \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Для точки $x_2$: точка является точкой локального минимума. Касательная в этой точке горизонтальна, то есть ее угол наклона равен $0^\circ$.
$f'(x_2) = \tan(0^\circ) = 0$.
Для точки $x_3$: угол наклона касательной составляет $135^\circ$.
$f'(x_3) = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.
Ответ: $f'(x_1) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $f'(x_2) = 0$, $f'(x_3) = -1$.

4. Касательная к графику функции $f(x) = x^7$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет угловой коэффициент $k = \frac{7}{64}$. Найдите $x_0$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$.
Найдем производную функции $f(x) = x^7$:
$f'(x) = (x^7)' = 7x^6$.
Приравняем производную в точке $x_0$ к заданному угловому коэффициенту:
$f'(x_0) = 7x_0^6 = \frac{7}{64}$.
Разделим обе части уравнения на 7:
$x_0^6 = \frac{1}{64}$.
Извлечем корень шестой степени из обеих частей. Так как $64 = 2^6$, получаем:
$x_0^6 = (\frac{1}{2})^6$.
Поскольку степень четная, уравнение имеет два действительных корня:
$x_0 = \frac{1}{2}$ и $x_0 = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x_0 = \frac{1}{2}$ или $x_0 = -\frac{1}{2}$.

5. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = \frac{1}{t^4}$. Найдите $s'(2)$. Какой механический смысл имеет найденная величина?

Закон движения $s(t)$ описывает координату точки в момент времени $t$. Производная $s'(t)$ описывает мгновенную скорость точки $v(t)$ в момент времени $t$.
Запишем функцию в виде $s(t) = t^{-4}$.
Найдем производную:
$s'(t) = (t^{-4})' = -4t^{-4-1} = -4t^{-5} = -\frac{4}{t^5}$.
Вычислим значение производной в момент времени $t=2$:
$s'(2) = -\frac{4}{2^5} = -\frac{4}{32} = -\frac{1}{8}$.
Механический смысл найденной величины: $s'(2)$ — это мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t=2$. Значение $-\frac{1}{8}$ означает, что в данный момент точка движется со скоростью $\frac{1}{8}$ единиц в отрицательном направлении координатной оси.
Ответ: $s'(2) = -\frac{1}{8}$. Это мгновенная скорость точки в момент времени $t=2$.