Страница 79 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 44

Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 18x + 1$, $[-4; 0]$;

2) $f(x) = \sqrt{15 - 2x - x^2}$, $[-4; 1]$;

3) $f(x) = x^2 - 8|x| + 15$, $[-5; 1]$.

2. В полукруг радиуса $3\sqrt{5}$ см вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 18x + 1$ на отрезке $[-4; 0]$, найдем ее производную: $f'(x) = 3x^2 + 3x - 18$. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $3x^2 + 3x - 18 = 0$, что эквивалентно $x^2 + x - 6 = 0$. Корнями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$. Из этих точек только $x = -3$ принадлежит отрезку $[-4; 0]$. Теперь вычислим значения функции в этой критической точке и на концах отрезка:
$f(-4) = (-4)^3 + \frac{3}{2}(-4)^2 - 18(-4) + 1 = -64 + 24 + 72 + 1 = 33$.
$f(-3) = (-3)^3 + \frac{3}{2}(-3)^2 - 18(-3) + 1 = -27 + 13.5 + 54 + 1 = 41.5$.
$f(0) = 0^3 + \frac{3}{2}(0)^2 - 18(0) + 1 = 1$.
Сравнивая значения $33$, $41.5$ и $1$, находим, что наибольшее значение функции на отрезке равно $41.5$, а наименьшее — $1$.
Ответ: Наибольшее значение $41.5$, наименьшее значение $1$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{15 - 2x - x^2}$ на отрезке $[-4; 1]$. Найдем ее производную: $f'(x) = (\sqrt{15 - 2x - x^2})' = \frac{-2 - 2x}{2\sqrt{15 - 2x - x^2}} = \frac{-(x+1)}{\sqrt{15 - 2x - x^2}}$. Критическая точка находится из условия $f'(x)=0$, то есть $-(x+1) = 0$, откуда $x = -1$. Эта точка принадлежит отрезку $[-4; 1]$. Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка:
$f(-4) = \sqrt{15 - 2(-4) - (-4)^2} = \sqrt{15 + 8 - 16} = \sqrt{7}$.
$f(-1) = \sqrt{15 - 2(-1) - (-1)^2} = \sqrt{15 + 2 - 1} = \sqrt{16} = 4$.
$f(1) = \sqrt{15 - 2(1) - (1)^2} = \sqrt{15 - 2 - 1} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Сравним полученные значения: $\sqrt{7}$, $4$ и $2\sqrt{3}$. Поскольку $4 = \sqrt{16}$, а $7 < 12 < 16$, то наибольшее значение равно $4$, а наименьшее — $\sqrt{7}$.
Ответ: Наибольшее значение $4$, наименьшее значение $\sqrt{7}$.

3) Дана функция $f(x) = x^2 - 8|x| + 15$ на отрезке $[-5; 1]$. Раскроем модуль на заданном отрезке. При $x \in [-5; 0)$, $|x| = -x$, и функция принимает вид $f(x) = x^2 + 8x + 15$. Ее производная $f'(x) = 2x + 8$. Критическая точка $x = -4$ (из $2x+8=0$) принадлежит интервалу $(-5; 0)$. При $x \in [0; 1]$, $|x| = x$, и функция принимает вид $f(x) = x^2 - 8x + 15$. Ее производная $f'(x) = 2x - 8$. Критическая точка $x=4$ (из $2x-8=0$) не принадлежит отрезку $[0; 1]$. Точка $x=0$ является точкой излома графика, поэтому ее также необходимо проверить. Вычислим значения функции в критической точке $x=-4$ и на концах отрезка $x=-5$ и $x=1$, а также в точке $x=0$:
$f(-5) = (-5)^2 - 8|-5| + 15 = 25 - 40 + 15 = 0$.
$f(-4) = (-4)^2 - 8|-4| + 15 = 16 - 32 + 15 = -1$.
$f(0) = 0^2 - 8|0| + 15 = 15$.
$f(1) = 1^2 - 8|1| + 15 = 1 - 8 + 15 = 8$.
Среди значений $0$, $-1$, $15$ и $8$ наибольшее равно $15$, а наименьшее равно $-1$.
Ответ: Наибольшее значение $15$, наименьшее значение $-1$.

2. Пусть полукруг радиуса $R = 3\sqrt{5}$ см задан уравнением $x^2 + y^2 = R^2$ при $y \ge 0$. Пусть одна сторона вписанного прямоугольника лежит на диаметре полукруга. Тогда вершины прямоугольника будут иметь координаты $(-x, 0)$, $(x, 0)$, $(x, y)$ и $(-x, y)$, где $y = \sqrt{R^2 - x^2}$. Стороны прямоугольника равны $2x$ и $y$.
Периметр прямоугольника $P$ как функция от $x$ равен $P(x) = 2(2x + y) = 4x + 2\sqrt{R^2 - x^2}$, где $x \in [0, R]$.
Чтобы найти наибольший периметр, найдем производную $P(x)$: $P'(x) = 4 + 2 \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{R^2 - x^2}} = 4 - \frac{2x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$.
Приравняем производную к нулю: $4 - \frac{2x}{\sqrt{R^2 - x^2}} = 0$, откуда $4\sqrt{R^2 - x^2} = 2x$, или $2\sqrt{R^2 - x^2} = x$.
Возведем обе части в квадрат: $4(R^2 - x^2) = x^2$, что дает $4R^2 - 4x^2 = x^2$, и $5x^2 = 4R^2$.
Отсюда $x^2 = \frac{4R^2}{5}$, и $x = \frac{2R}{\sqrt{5}}$.
Подставим значение $R = 3\sqrt{5}$: $x = \frac{2 \cdot 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 6$ см.
Найдем стороны прямоугольника: Одна сторона равна $2x = 2 \cdot 6 = 12$ см. Другая сторона равна $y = \sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 6^2} = \sqrt{45 - 36} = \sqrt{9} = 3$ см.
Таким образом, стороны прямоугольника с наибольшим периметром равны 12 см и 3 см.
Ответ: Стороны прямоугольника равны 12 см и 3 см.

Самостоятельная работа № 45

Вторая производная.

Понятие выпуклости функции

1. Найдите вторую производную функции:

1) $y = (3x - 4)^5$;

2) $y = (x - 2)^2 \sin x.$

2. Тело массой 4 кг движется по координатной прямой по закону $s (t) = t^3 - 5t + 6$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите силу $F(t) = ma(t)$, действующую на тело через 3 с после начала движения.

3. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

1) $y = x^2 + \sqrt{x + 3}$;

2) $y = 5x^7 - 14x^6 + 3x - 1.$

1. Найдите вторую производную функции:

1) $y = (3x - 4)^5$

Для нахождения второй производной необходимо дважды продифференцировать данную функцию.
Первая производная находится по правилу дифференцирования сложной функции:
$y' = ((3x - 4)^5)' = 5(3x - 4)^{5-1} \cdot (3x - 4)' = 5(3x - 4)^4 \cdot 3 = 15(3x - 4)^4$.
Вторая производная — это производная от первой производной:
$y'' = (15(3x - 4)^4)' = 15 \cdot 4(3x - 4)^{4-1} \cdot (3x - 4)' = 60(3x - 4)^3 \cdot 3 = 180(3x - 4)^3$.
Ответ: $y'' = 180(3x - 4)^3$.

2) $y = (x - 2)^2 \sin x$

Для нахождения первой производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$y' = ((x - 2)^2)' \sin x + (x - 2)^2 (\sin x)' = 2(x - 2)(x - 2)' \sin x + (x - 2)^2 \cos x = 2(x - 2) \sin x + (x - 2)^2 \cos x$.
Для нахождения второй производной дифференцируем первое производное, применяя правило произведения к каждому слагаемому:
$y'' = (2(x - 2) \sin x)' + ((x - 2)^2 \cos x)'$
$y'' = [(2(x-2))' \sin x + 2(x-2)(\sin x)'] + [((x-2)^2)' \cos x + (x-2)^2(\cos x)']$
$y'' = [2 \sin x + 2(x-2)\cos x] + [2(x-2)\cos x + (x-2)^2(-\sin x)]$
Приведем подобные слагаемые:
$y'' = 2\sin x + 4(x-2)\cos x - (x-2)^2\sin x$
Сгруппируем члены с $\sin x$:
$y'' = (2 - (x-2)^2)\sin x + 4(x-2)\cos x$
Раскроем скобки:
$y'' = (2 - (x^2 - 4x + 4))\sin x + (4x - 8)\cos x$
$y'' = (-x^2 + 4x - 2)\sin x + (4x - 8)\cos x$
Ответ: $y'' = (-x^2 + 4x - 2)\sin x + (4x - 8)\cos x$.

2. Тело массой 4 кг движется по координатной прямой по закону s(t) = t³ − 5t + 6 (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите силу F(t) = ma(t), действующую на тело через 3 с после начала движения.

Сила, действующая на тело, определяется вторым законом Ньютона: $F = ma$, где $m$ — масса тела, а $a$ — его ускорение.
Ускорение $a(t)$ является второй производной от перемещения $s(t)$ по времени.
Сначала найдем первую производную от перемещения, которая представляет собой скорость $v(t)$:
$v(t) = s'(t) = (t^3 - 5t + 6)' = 3t^2 - 5$.
Теперь найдем вторую производную, которая является ускорением $a(t)$:
$a(t) = v'(t) = (3t^2 - 5)' = 6t$.
Найдем ускорение в момент времени $t = 3$ с:
$a(3) = 6 \cdot 3 = 18$ м/с².
Теперь, зная массу $m = 4$ кг и ускорение $a(3) = 18$ м/с², вычислим силу:
$F(3) = m \cdot a(3) = 4 \text{ кг} \cdot 18 \text{ м/с²} = 72$ Н.
Ответ: 72 Н.

3. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

1) $y = x^2 + \sqrt{x+3}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+3 \ge 0$, откуда $x \ge -3$. Таким образом, $D(y) = [-3; +\infty)$.
2. Найдем первую и вторую производные функции:
$y' = (x^2 + (x+3)^{1/2})' = 2x + \frac{1}{2}(x+3)^{-1/2} = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x+3}}$.
$y'' = (2x + \frac{1}{2}(x+3)^{-1/2})' = 2 + \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(x+3)^{-3/2} = 2 - \frac{1}{4(x+3)\sqrt{x+3}}$.
3. Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. $y''$ не существует при $x=-3$.
Приравняем $y''$ к нулю:
$2 - \frac{1}{4(x+3)^{3/2}} = 0 \Rightarrow 2 = \frac{1}{4(x+3)^{3/2}} \Rightarrow 8(x+3)^{3/2} = 1 \Rightarrow (x+3)^{3/2} = \frac{1}{8}$.
$x+3 = (\frac{1}{8})^{2/3} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{4} - 3 = -\frac{11}{4}$.
4. Исследуем знак $y''$ на интервалах, на которые область определения разбивается точкой $x = -11/4$: это $[-3; -11/4)$ и $(-11/4; +\infty)$.
- На интервале $[-3; -11/4)$: возьмем $x = -2.8$. $y''(-2.8) = 2 - \frac{1}{4(0.2)^{3/2}} < 0$. Функция выпукла вверх (вогнута).
- На интервале $(-11/4; +\infty)$: возьмем $x = 1$. $y''(1) = 2 - \frac{1}{4(4)^{3/2}} = 2 - \frac{1}{32} > 0$. Функция выпукла вниз.
5. В точке $x = -11/4$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. Найдем ее ординату:
$y(-\frac{11}{4}) = (-\frac{11}{4})^2 + \sqrt{-\frac{11}{4}+3} = \frac{121}{16} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{121}{16} + \frac{1}{2} = \frac{129}{16}$.
Ответ: Функция выпукла вверх на промежутке $[-3, -11/4]$, выпукла вниз на промежутке $[-11/4, +\infty)$. Точка перегиба: $(-\frac{11}{4}, \frac{129}{16})$.

2) $y = 5x^7 - 14x^6 + 3x - 1$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем первую и вторую производные:
$y' = 35x^6 - 84x^5 + 3$.
$y'' = 210x^5 - 420x^4$.
3. Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:
$210x^5 - 420x^4 = 0 \Rightarrow 210x^4(x-2) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
4. Исследуем знак $y''$ на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$: возьмем $x=-1$. $y''(-1) = 210(-1)^4(-1-2) = -630 < 0$. Функция выпукла вверх.
- На интервале $(0; 2)$: возьмем $x=1$. $y''(1) = 210(1)^4(1-2) = -210 < 0$. Функция выпукла вверх.
- На интервале $(2; +\infty)$: возьмем $x=3$. $y''(3) = 210(3)^4(3-2) > 0$. Функция выпукла вниз.
5. Вторая производная меняет знак только в точке $x=2$. Следовательно, это точка перегиба. В точке $x=0$ знак не меняется, поэтому она не является точкой перегиба.
Найдем ординату точки перегиба:
$y(2) = 5(2)^7 - 14(2)^6 + 3(2) - 1 = 5 \cdot 128 - 14 \cdot 64 + 6 - 1 = 640 - 896 + 5 = -251$.
Ответ: Функция выпукла вверх на промежутке $(-\infty, 2]$, выпукла вниз на промежутке $[2, +\infty)$. Точка перегиба: $(2, -251)$.