Страница 86 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 11

Определение корня n-й степени. Функция $y = \sqrt[n]{x}$

1. Вычислите: $4(-\sqrt[8]{17})^8 - 2,3\sqrt[5]{100\,000} + \left(\frac{1}{2}\sqrt[5]{96}\right)^5$

2. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[11]{x+2})^{11}$;

2) $y = (\sqrt[12]{3-x})^{12}$.

3. Решите неравенство:

1) $\sqrt[4]{4x+8} \le 4$;

2) $\sqrt[14]{x^2-10} > \sqrt[14]{9x}$.

4. Для каждого значения параметра a решите уравнение:

1) $a\sqrt[12]{x} = 0$;

2) $ax^4 = 5$.

5. Решите систему уравнений:

$\begin{cases} x^5 + \sqrt[8]{x} = y^5 + \sqrt[8]{y} \\ 5x^2 - 2y^2 = 48 \end{cases}$

1. Вычислите: $4(-\sqrt[8]{17})^8 - 2,35\sqrt[3]{100\,000} + (\frac{1}{2}\sqrt[5]{96})^5$.

Решим по частям. (Примечание: В выражении $\sqrt[3]{100\,000}$ скорее всего допущена опечатка. Наиболее вероятно, что имелся в виду корень 5-й степени, так как $100\,000 = 10^5$. В решении будет использовано $\sqrt[5]{100\,000}$.)

1) $4(-\sqrt[8]{17})^8 = 4 \cdot ((-1)^8 \cdot (\sqrt[8]{17})^8) = 4 \cdot (1 \cdot 17) = 68$.

2) $2,35\sqrt[5]{100\,000} = 2,35 \cdot \sqrt[5]{10^5} = 2,35 \cdot 10 = 23,5$.

3) $(\frac{1}{2}\sqrt[5]{96})^5 = (\frac{1}{2})^5 \cdot (\sqrt[5]{96})^5 = \frac{1}{32} \cdot 96 = 3$.

4) Сложим результаты: $68 - 23,5 + 3 = 44,5 + 3 = 47,5$.

Ответ: $47,5$.

2. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[11]{x+2})^{11}$

Поскольку показатель корня $n=11$ является нечетным числом, область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Для нечетного $n$ и любого действительного $a$ выполняется тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

Следовательно, функция упрощается до $y = x+2$.

Графиком данной функции является прямая линия, проходящая, например, через точки с координатами $(-2, 0)$ и $(0, 2)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=x+2$.

2) $y = (\sqrt[12]{3-x})^{12}$

Поскольку показатель корня $n=12$ является четным числом, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3-x \ge 0$, откуда $x \le 3$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty, 3]$.

Для четного $n$ и $a \ge 0$ выполняется тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$. В области определения функции выражение $3-x$ неотрицательно, поэтому функция упрощается до $y = 3-x$.

Графиком данной функции является луч прямой $y = 3-x$, ограниченный областью определения $x \le 3$. Луч начинается в точке $(3, 0)$ и проходит, например, через точку $(0, 3)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y=3-x$ с областью определения $x \le 3$.

3. Решите неравенство:

1) $\sqrt[4]{4x+8} \le 4$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $4x+8 \ge 0$, что дает $4x \ge -8$, и $x \ge -2$.

Возведем обе части неравенства в четвертую степень. Так как обе части неотрицательны, знак неравенства сохраняется:

$(\sqrt[4]{4x+8})^4 \le 4^4$

$4x+8 \le 256$

$4x \le 248$

$x \le 62$

Пересекая полученное решение с ОДЗ ($x \ge -2$), находим итоговый ответ: $-2 \le x \le 62$.

Ответ: $x \in [-2, 62]$.

2) $\sqrt[14]{x^2-10} > \sqrt[14]{9x}$

Найдем ОДЗ. Так как корни четной степени, подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x^2-10 \ge 0 \\ 9x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 \ge 10 \\ x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty, -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}, \infty) \\ x \ge 0 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge \sqrt{10}$.

Поскольку функция $y=\sqrt[14]{t}$ возрастающая, мы можем сравнить подкоренные выражения, сохранив знак неравенства:

$x^2-10 > 9x$

$x^2 - 9x - 10 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 9x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 10, x_2 = -1$.

Решением неравенства $x^2 - 9x - 10 > 0$ является объединение интервалов $(-\infty, -1) \cup (10, \infty)$.

Учитывая ОДЗ $x \ge \sqrt{10}$ (где $\sqrt{10} \approx 3.16$), получаем итоговое решение: $x > 10$.

Ответ: $x \in (10, \infty)$.

4. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение:

1) $a\sqrt[12]{x} = 0$

ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt[12]{x} = 0$, то есть $0 = 0$. Это верное равенство для любого $x$ из ОДЗ.

Следовательно, при $a=0$ решением является $x \ge 0$.

Случай 2: $a \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $a$: $\sqrt[12]{x} = 0$. Возведя обе части в 12-ю степень, получаем $x = 0$.

Ответ: если $a=0$, то $x \in [0, \infty)$; если $a \neq 0$, то $x=0$.

2) $ax^4 = 5$

Рассмотрим различные значения параметра $a$.

Случай 1: $a=0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x^4 = 5$, или $0=5$, что неверно. Следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: $a \neq 0$. Разделим обе части на $a$: $x^4 = \frac{5}{a}$.

Если $a < 0$, то $\frac{5}{a} < 0$. Уравнение $x^4 = (\text{отрицательное число})$ не имеет действительных корней, так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Если $a > 0$, то $\frac{5}{a} > 0$. Уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm \sqrt[4]{\frac{5}{a}}$.

Ответ: если $a \le 0$, корней нет; если $a > 0$, то $x = \pm\sqrt[4]{\frac{5}{a}}$.

5. Решите систему уравнений $\begin{cases} x^5 + \sqrt[8]{x} = y^5 + \sqrt[8]{y} \\ 5x^2 - 2y^2 = 48 \end{cases}$

ОДЗ системы определяется наличием корней четной степени: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Рассмотрим первое уравнение: $x^5 + \sqrt[8]{x} = y^5 + \sqrt[8]{y}$.

Введем функцию $f(t) = t^5 + \sqrt[8]{t}$ с областью определения $t \ge 0$. Тогда первое уравнение можно записать в виде $f(x)=f(y)$.

Найдем производную этой функции: $f'(t) = 5t^4 + \frac{1}{8}t^{-7/8} = 5t^4 + \frac{1}{8\sqrt[8]{t^7}}$.

При $t > 0$ оба слагаемых в производной положительны, значит $f'(t) > 0$. Следовательно, функция $f(t)$ является строго возрастающей на своей области определения $[0, \infty)$.

Для строго монотонной функции равенство $f(x)=f(y)$ возможно только тогда, когда $x=y$.

Подставим $y=x$ во второе уравнение системы:

$5x^2 - 2x^2 = 48$

$3x^2 = 48$

$x^2 = 16$

$x = \pm 4$

Согласно ОДЗ ($x \ge 0$), нам подходит только корень $x=4$.

Так как $y=x$, то $y=4$.

Проверим найденное решение $(4, 4)$, подставив его в исходную систему. ОДЗ ($4 \ge 0, 4 \ge 0$) выполняется.

$4^5 + \sqrt[8]{4} = 4^5 + \sqrt[8]{4}$ (верно)

$5(4^2) - 2(4^2) = 5 \cdot 16 - 2 \cdot 16 = 80 - 32 = 48$ (верно)

Ответ: $(4, 4)$.

Самостоятельная работа № 12

Свойства корня n-й степени

1. Найдите значение выражения:

1) $ \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{3} $

2) $ \sqrt[5]{3^4 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[5]{3^{11} \cdot 7^3} $

3) $ \frac{\sqrt[4]{405}}{\sqrt[4]{80}} $

2. Упростите выражение:

1) $ \sqrt[7]{\sqrt[6]{m}} $

2) $ \sqrt[27]{b^{18}} $

3) $ \sqrt[22]{c^{10}} $

4) $ \sqrt[5]{3 \sqrt[3]{7}} $

5) $ \sqrt[12]{a^5 \sqrt[5]{a^7}} $

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $ \sqrt[3]{56} $

2) $ \sqrt[4]{112} $

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $ -5\sqrt[3]{2} $

2) $ -10\sqrt[4]{0,123} $

5. Сократите дробь:

1) $ \frac{\sqrt[5]{t} - 16}{\sqrt[10]{t} + 4} $

2) $ \frac{\sqrt[5]{x^4} + x}{\sqrt[5]{x^3} + \sqrt[5]{x^2}} $

3) $ \frac{x - \sqrt{3x} + 3}{x\sqrt{x} + 3\sqrt{3}} $

1. Найдите значение выражения:

1) Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{27 \cdot 3} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Ответ: $3$.

2) Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ и свойство степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:

$\sqrt[5]{3^4 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[5]{3^{11} \cdot 7^3} = \sqrt[5]{(3^4 \cdot 7^2) \cdot (3^{11} \cdot 7^3)} = \sqrt[5]{3^{4+11} \cdot 7^{2+3}} = \sqrt[5]{3^{15} \cdot 7^5}$.

Далее используем свойства $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}}$:

$\sqrt[5]{3^{15}} \cdot \sqrt[5]{7^5} = 3^{\frac{15}{5}} \cdot 7^{\frac{5}{5}} = 3^3 \cdot 7^1 = 27 \cdot 7 = 189$.

Ответ: $189$.

3) Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[4]{405}}{\sqrt[4]{80}} = \sqrt[4]{\frac{405}{80}}$.

Сократим дробь под корнем: $\frac{405}{80} = \frac{81 \cdot 5}{16 \cdot 5} = \frac{81}{16}$.

$\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \sqrt[4]{\frac{3^4}{2^4}} = \sqrt[4]{(\frac{3}{2})^4} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: $1.5$.

2. Упростите выражение:

1) Используем свойство корня из корня $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$:

$\sqrt[7]{\sqrt[6]{m}} = \sqrt[7 \cdot 6]{m} = \sqrt[42]{m}$.

Ответ: $\sqrt[42]{m}$.

2) Используем свойство $\sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}}$ и сократим показатель степени:

$\sqrt[27]{b^{18}} = b^{\frac{18}{27}} = b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{b^2}$.

3) Аналогично предыдущему пункту:

$\sqrt[22]{c^{10}} = c^{\frac{10}{22}} = c^{\frac{5}{11}} = \sqrt[11]{c^5}$.

Ответ: $\sqrt[11]{c^5}$.

4) Внесем множитель 3 под внутренний корень, представив его как $\sqrt[3]{3^3}$:

$\sqrt[5]{3\sqrt[3]{7}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{7}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{27 \cdot 7}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{189}}$.

Теперь используем свойство корня из корня:

$\sqrt[5 \cdot 3]{189} = \sqrt[15]{189}$.

Ответ: $\sqrt[15]{189}$.

5) Внесем множитель $a^5$ под внутренний корень (квадратный), представив его как $\sqrt{(a^5)^2} = \sqrt{a^{10}}$:

$\sqrt[12]{a^5\sqrt{a^7}} = \sqrt[12]{\sqrt{a^{10}} \cdot \sqrt{a^7}} = \sqrt[12]{\sqrt{a^{10} \cdot a^7}} = \sqrt[12]{\sqrt{a^{17}}}$.

Используем свойство корня из корня:

$\sqrt[12 \cdot 2]{a^{17}} = \sqrt[24]{a^{17}}$.

Ответ: $\sqrt[24]{a^{17}}$.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был кубом целого числа:

$56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$.

$\sqrt[3]{56} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 7} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{7} = 2\sqrt[3]{7}$.

Ответ: $2\sqrt[3]{7}$.

2) Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был четвертой степенью целого числа:

$112 = 16 \cdot 7 = 2^4 \cdot 7$.

$\sqrt[4]{112} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 7} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{7} = 2\sqrt[4]{7}$.

Ответ: $2\sqrt[4]{7}$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) Чтобы внести положительный множитель под знак корня n-ой степени, нужно возвести его в n-ую степень. Знак минус оставляем перед корнем.

$-5\sqrt[3]{2} = -\sqrt[3]{5^3 \cdot 2} = -\sqrt[3]{125 \cdot 2} = -\sqrt[3]{250}$.

Ответ: $-\sqrt[3]{250}$.

2) Аналогично предыдущему пункту:

$-10\sqrt[4]{0.123} = -\sqrt[4]{10^4 \cdot 0.123} = -\sqrt[4]{10000 \cdot 0.123} = -\sqrt[4]{1230}$.

Ответ: $-\sqrt[4]{1230}$.

5. Сократите дробь:

1) Заметим, что $\sqrt[5]{t} = (\sqrt[10]{t})^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю:

$\frac{\sqrt[5]{t}-16}{\sqrt[10]{t}+4} = \frac{(\sqrt[10]{t})^2 - 4^2}{\sqrt[10]{t}+4} = \frac{(\sqrt[10]{t}-4)(\sqrt[10]{t}+4)}{\sqrt[10]{t}+4}$.

Сокращаем дробь на общий множитель $(\sqrt[10]{t}+4)$:

$\sqrt[10]{t}-4$.

Ответ: $\sqrt[10]{t}-4$.

2) Представим $x$ в числителе как $\sqrt[5]{x^5}$ и вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\sqrt[5]{x^4}+x}{\sqrt[5]{x^3}+\sqrt[5]{x^2}} = \frac{\sqrt[5]{x^4}+\sqrt[5]{x^5}}{\sqrt[5]{x^2}+\sqrt[5]{x^3}} = \frac{\sqrt[5]{x^4}(1+\sqrt[5]{x})}{\sqrt[5]{x^2}(1+\sqrt[5]{x})}$.

Сокращаем дробь на общий множитель $(1+\sqrt[5]{x})$:

$\frac{\sqrt[5]{x^4}}{\sqrt[5]{x^2}} = \sqrt[5]{\frac{x^4}{x^2}} = \sqrt[5]{x^2}$.

Ответ: $\sqrt[5]{x^2}$.

3) Знаменатель $x\sqrt{x}+3\sqrt{3}$ можно представить как сумму кубов: $(\sqrt{x})^3 + (\sqrt{3})^3$.

Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x\sqrt{x}+3\sqrt{3} = (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{3})^3 = (\sqrt{x}+\sqrt{3})((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = (\sqrt{x}+\sqrt{3})(x - \sqrt{3x} + 3)$.

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{x-\sqrt{3x}+3}{(\sqrt{x}+\sqrt{3})(x - \sqrt{3x} + 3)}$.

Сокращаем дробь на общий множитель $(x - \sqrt{3x} + 3)$:

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}$.