Страница 87 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 13

Свойства корня n-й степени

1. Сравните:

1) $3\sqrt{2}$ и $5\sqrt{3}$;

2) $8\sqrt{7}$ и $12\sqrt{18}$.

2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[8]{(x - 3)^8}$;

2) $y = \sqrt[10]{(x + 1)^9} \cdot \sqrt[10]{x + 1}$.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{x^{19}};$

2) $\sqrt[5]{-c^{22}};$

3) $\sqrt[4]{x^{14}y^{13}};$

4) $\sqrt[4]{-256y^{17}};$

5) $\sqrt[12]{x^{14}y^{17}}$, если $x \leq 0$;

6) $\sqrt[14]{-m^{29}n^{16}}$, если $n \leq 0$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $2m\sqrt[3]{3m^4};$

2) $b\sqrt{-b^7};$

3) $x^6\sqrt{x^5};$

4) $a^{12}\sqrt[5]{a^8}$, если $a \leq 0$;

5) $xy^3\sqrt[4]{x^{10}y^{14}}$, если $x < 0, y > 0$.

5. Упростите выражение:

$\left( \frac{\sqrt[4]{x} + 1}{\sqrt[4]{x} - 1} + \frac{\sqrt[4]{x} - 1}{\sqrt[4]{x} + 1} \right) : \frac{5\sqrt{x} + 5}{3 - 3\sqrt{x}}$.

1. Сравните:

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[5]{3}$, приведем их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей 3 и 5 равно 15.
$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$
$\sqrt[5]{3} = \sqrt[5 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[15]{27}$
Так как $32 > 27$, то $\sqrt[15]{32} > \sqrt[15]{27}$, следовательно, $\sqrt[3]{2} > \sqrt[5]{3}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2} > \sqrt[5]{3}$.

2) Чтобы сравнить числа $\sqrt[8]{7}$ и $\sqrt[12]{18}$, приведем их к общему показателю корня. НОК для показателей 8 и 12 равно 24.
$\sqrt[8]{7} = \sqrt[8 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[24]{343}$
$\sqrt[12]{18} = \sqrt[12 \cdot 2]{18^2} = \sqrt[24]{324}$
Так как $343 > 324$, то $\sqrt[24]{343} > \sqrt[24]{324}$, следовательно, $\sqrt[8]{7} > \sqrt[12]{18}$.
Ответ: $\sqrt[8]{7} > \sqrt[12]{18}$.

2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[8]{(x-3)^8}$
Поскольку показатель корня 8 является четным числом, используем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.
$y = |x-3|$
График этой функции — это график функции $y=|x|$, сдвинутый на 3 единицы вправо по оси Ox. Вершина графика находится в точке (3, 0). График состоит из двух лучей: $y = x-3$ при $x \ge 3$ и $y = -(x-3) = 3-x$ при $x < 3$.
Ответ: Графиком является "галочка" с вершиной в точке (3, 0).

2) $y = \sqrt[10]{(x+1)^9} \cdot \sqrt[10]{x+1}$
Область определения функции: $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
Используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, упростим выражение:
$y = \sqrt[10]{(x+1)^9 \cdot (x+1)} = \sqrt[10]{(x+1)^{10}}$
Так как показатель корня 10 — четное число, то $y = |x+1|$.
Учитывая область определения $x \ge -1$, выражение $x+1$ всегда неотрицательно, поэтому $|x+1| = x+1$.
Таким образом, функция имеет вид $y = x+1$ при $x \ge -1$.
Графиком является луч, выходящий из точки (-1, 0) и проходящий через точку (0, 1).
Ответ: Графиком является луч $y = x+1$ с началом в точке (-1, 0).

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{x^{19}} = \sqrt[4]{x^{16} \cdot x^3} = \sqrt[4]{(x^4)^4 \cdot x^3} = x^4\sqrt[4]{x^3}$ (при $x \ge 0$).
Ответ: $x^4\sqrt[4]{x^3}$.

2) $\sqrt[5]{-c^{22}} = \sqrt[5]{-1 \cdot c^{20} \cdot c^2} = \sqrt[5]{(-1) \cdot (c^4)^5 \cdot c^2} = -c^4\sqrt[5]{c^2}$.
Ответ: $-c^4\sqrt[5]{c^2}$.

3) $\sqrt[4]{x^{14}y^{13}}$. Область определения: $x^{14}y^{13} \ge 0$. Так как $x^{14} \ge 0$, то $y^{13} \ge 0$, что означает $y \ge 0$.
$\sqrt[4]{x^{14}y^{13}} = \sqrt[4]{x^{12}x^2y^{12}y} = \sqrt[4]{(x^3)^4 \cdot (y^3)^4 \cdot x^2y} = |x^3| \cdot |y^3| \cdot \sqrt[4]{x^2y}$.
Так как $y \ge 0$, $|y^3|=y^3$.
Получаем $|x^3|y^3\sqrt[4]{x^2y}$.
Ответ: $|x^3|y^3\sqrt[4]{x^2y}$.

4) $\sqrt[4]{-256y^{17}}$. Область определения: $-256y^{17} \ge 0 \implies y^{17} \le 0 \implies y \le 0$.
$\sqrt[4]{-256y^{17}} = \sqrt[4]{256 \cdot (-y^{17})} = \sqrt[4]{4^4 \cdot (-y)^{16} \cdot (-y)} = 4(-y)^4\sqrt[4]{-y} = 4y^4\sqrt[4]{-y}$.
Ответ: $4y^4\sqrt[4]{-y}$.

5) $\sqrt[12]{x^{14}y^{17}}$, если $x \le 0$. Область определения: $x^{14}y^{17} \ge 0 \implies y \ge 0$.
$\sqrt[12]{x^{14}y^{17}} = \sqrt[12]{x^{12}x^2y^{12}y^5} = |x||y|\sqrt[12]{x^2y^5}$.
По условию $x \le 0$ и $y \ge 0$, поэтому $|x| = -x$ и $|y| = y$.
Результат: $(-x)y\sqrt[12]{x^2y^5} = -xy\sqrt[12]{x^2y^5}$.
Ответ: $-xy\sqrt[12]{x^2y^5}$.

6) $\sqrt[14]{-m^{29}n^{16}}$, если $n \le 0$. Область определения: $-m^{29}n^{16} \ge 0 \implies -m^{29} \ge 0 \implies m \le 0$.
$\sqrt[14]{-m^{29}n^{16}} = \sqrt[14]{m^{28}(-m)n^{14}n^2} = \sqrt[14]{(m^2)^{14}}\sqrt[14]{n^{14}}\sqrt[14]{-mn^2} = |m^2||n|\sqrt[14]{-mn^2}$.
Так как $m^2$ всегда неотрицательно, $|m^2|=m^2$. По условию $n \le 0$, поэтому $|n| = -n$.
Результат: $m^2(-n)\sqrt[14]{-mn^2} = -m^2n\sqrt[14]{-mn^2}$.
Ответ: $-m^2n\sqrt[14]{-mn^2}$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $2m\sqrt[3]{3m^4} = \sqrt[3]{(2m)^3 \cdot 3m^4} = \sqrt[3]{8m^3 \cdot 3m^4} = \sqrt[3]{24m^7}$.
Ответ: $\sqrt[3]{24m^7}$.

2) $b\sqrt{-b^7}$. Область определения: $-b^7 \ge 0 \implies b \le 0$.
Поскольку множитель $b$ неположительный, при внесении под знак корня четной степени перед корнем ставится знак минус: $b\sqrt{-b^7} = -\sqrt{b^2(-b^7)} = -\sqrt{-b^9}$.
Ответ: $-\sqrt{-b^9}$.

3) $x^6\sqrt[6]{x^5}$. Область определения: $x^5 \ge 0 \implies x \ge 0$.
Множитель $x^6$ неотрицателен, поэтому: $x^6\sqrt[6]{x^5} = \sqrt[6]{(x^6)^6 \cdot x^5} = \sqrt[6]{x^{36}x^5} = \sqrt[6]{x^{41}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{x^{41}}$.

4) $a^{12}\sqrt[4]{a^8}$, если $a \le 0$. Множитель $a^{12}$ всегда неотрицателен.
$a^{12}\sqrt[4]{a^8} = \sqrt[4]{(a^{12})^4 \cdot a^8} = \sqrt[4]{a^{48}a^8} = \sqrt[4]{a^{56}}$.
Ответ: $\sqrt[4]{a^{56}}$.

5) $xy^3\sqrt[4]{x^{10}y^{14}}$, если $x < 0, y > 0$.
При данных условиях множитель $xy^3$ отрицателен ($x<0, y^3>0$). При внесении отрицательного множителя под корень четной степени перед корнем ставится знак минус:
$xy^3\sqrt[4]{x^{10}y^{14}} = -\sqrt[4]{(xy^3)^4 \cdot x^{10}y^{14}} = -\sqrt[4]{x^4y^{12}x^{10}y^{14}} = -\sqrt[4]{x^{14}y^{26}}$.
Ответ: $-\sqrt[4]{x^{14}y^{26}}$.

5. Упростите выражение

Упростим выражение $\left(\frac{\sqrt[4]{x}+1}{\sqrt[4]{x}-1} + \frac{\sqrt[4]{x}-1}{\sqrt[4]{x}+1}\right) : \frac{5\sqrt{x}+5}{3-3\sqrt{x}}$.
Область допустимых значений: $x \ge 0$ и $x \neq 1$.
1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(\sqrt[4]{x}-1)(\sqrt[4]{x}+1) = (\sqrt[4]{x})^2-1^2 = \sqrt{x}-1$:
$\frac{(\sqrt[4]{x}+1)^2 + (\sqrt[4]{x}-1)^2}{(\sqrt[4]{x}-1)(\sqrt[4]{x}+1)} = \frac{(\sqrt{x}+2\sqrt[4]{x}+1) + (\sqrt{x}-2\sqrt[4]{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = \frac{2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1} = \frac{2(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1}$.
2. Упростим делитель:
$\frac{5\sqrt{x}+5}{3-3\sqrt{x}} = \frac{5(\sqrt{x}+1)}{3(1-\sqrt{x})} = \frac{5(\sqrt{x}+1)}{-3(\sqrt{x}-1)} = -\frac{5(\sqrt{x}+1)}{3(\sqrt{x}-1)}$.
3. Выполним деление:
$\frac{2(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} : \left(-\frac{5(\sqrt{x}+1)}{3(\sqrt{x}-1)}\right) = \frac{2(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} \cdot \left(-\frac{3(\sqrt{x}-1)}{5(\sqrt{x}+1)}\right)$.
Сокращаем $(\sqrt{x}+1)$ и $(\sqrt{x}-1)$, так как $x \neq 1$:
$\frac{2}{1} \cdot \frac{-3}{5} = -\frac{6}{5} = -1.2$.
Ответ: $-\frac{6}{5}$.

Самостоятельная работа № 14

Степень с рациональным показателем и её свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $64^{\frac{1}{6}}$; 2) $81^{\frac{3}{4}}$; 3) $\left(1\frac{24}{25}\right)^{1,5}$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = (7 - x)^{1,9}$;

2) $y = (7 - 6x - x^2)^{\frac{2}{3}}$.

3. Упростите выражение:

1) $m^{-2,5} \cdot m^{3,2}$;

2) $m^{\frac{5}{6}} : m^{\frac{7}{8}}$;

3) $(m^{-0,7})^7$;

4) $\left(m^{\frac{3}{5}} n^{0,7}\right)^{\frac{20}{63}}$;

5) $\left(\sqrt[8]{m^{-3}}\right)^{\frac{16}{9}} \cdot \left(m^{\frac{3}{7}}\right)^{\frac{14}{9}}$.

4. Постройте график функции $y = \left((x-2)^{-\frac{1}{5}}\right)^{-5}$ .

5. Упростите выражение

$\frac{x^{\frac{1}{6}}+4}{x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{6}}}-\frac{x^{\frac{1}{6}}+6}{2x^{\frac{1}{6}}+2}+\frac{x^{\frac{1}{3}}+4x^{\frac{1}{6}}-8}{2x^{\frac{1}{3}}+2x^{\frac{1}{6}}}$.

1. Найдите значение выражения:

1) $64^{\frac{1}{6}}$

Представим число 64 как степень числа 2: $64 = 2^6$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$64^{\frac{1}{6}} = (2^6)^{\frac{1}{6}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{6}} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2.

2) $81^{\frac{3}{4}}$

Представим число 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$.

Ответ: 27.

3) $(1\frac{24}{25})^{1,5}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную, а десятичный показатель степени в обыкновенную дробь:

$1\frac{24}{25} = \frac{25 \cdot 1 + 24}{25} = \frac{49}{25}$

$1,5 = \frac{3}{2}$

Выражение принимает вид $(\frac{49}{25})^{\frac{3}{2}}$.

Представим основание степени $\frac{49}{25}$ как $(\frac{7}{5})^2$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$((\frac{7}{5})^2)^{\frac{3}{2}} = (\frac{7}{5})^{2 \cdot \frac{3}{2}} = (\frac{7}{5})^3 = \frac{7^3}{5^3} = \frac{343}{125}$.

Ответ: $\frac{343}{125}$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = (7 - x)^{1,9}$

Функция вида $y = (f(x))^a$, где $a$ — положительное нецелое число, определена, когда основание степени $f(x)$ неотрицательно.

Показатель $1,9$ является положительным нецелым числом, следовательно, основание степени должно быть больше или равно нулю:

$7 - x \geq 0$

$7 \geq x$, или $x \leq 7$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty, 7]$.

Ответ: $(-\infty, 7]$.

2) $y = (7 - 6x - x^2)^{\frac{2}{3}}$

Показатель степени $\frac{2}{3}$ является положительным нецелым числом, поэтому основание степени должно быть неотрицательным:

$7 - 6x - x^2 \geq 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:

$x^2 + 6x - 7 \leq 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 6x - 7 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1, x_2 = -7$.

Так как ветви параболы $f(x) = x^2 + 6x - 7$ направлены вверх, неравенство $f(x) \leq 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Следовательно, $-7 \leq x \leq 1$.

Область определения функции: $D(y) = [-7, 1]$.

Ответ: $[-7, 1]$.

3. Упростите выражение:

1) $m^{-2,5} \cdot m^{3,2}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$):

$m^{-2,5} \cdot m^{3,2} = m^{-2,5 + 3,2} = m^{0,7}$.

Ответ: $m^{0,7}$.

2) $m^{\frac{5}{6}} : m^{\frac{7}{8}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^x : a^y = a^{x-y}$):

$m^{\frac{5}{6} - \frac{7}{8}} = m^{\frac{5 \cdot 4}{24} - \frac{7 \cdot 3}{24}} = m^{\frac{20-21}{24}} = m^{-\frac{1}{24}}$.

Ответ: $m^{-\frac{1}{24}}$.

3) $(m^{-0,7})^7$

При возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^x)^y = a^{xy}$):

$(m^{-0,7})^7 = m^{-0,7 \cdot 7} = m^{-4,9}$.

Ответ: $m^{-4,9}$.

4) $(m^{\frac{3}{5}} n^{0,7})^{\frac{20}{63}}$

Используем свойства $(ab)^x = a^x b^x$ и $(a^x)^y = a^{xy}$, представив $0,7 = \frac{7}{10}$:

$(m^{\frac{3}{5}})^{\frac{20}{63}} \cdot (n^{\frac{7}{10}})^{\frac{20}{63}} = m^{\frac{3}{5} \cdot \frac{20}{63}} \cdot n^{\frac{7}{10} \cdot \frac{20}{63}} = m^{\frac{4}{21}} n^{\frac{2}{9}}$.

Ответ: $m^{\frac{4}{21}} n^{\frac{2}{9}}$.

5) $(\sqrt[8]{m^{-3}})^{\frac{16}{9}} \cdot (m^{\frac{3}{7}})^{\frac{14}{9}}$

Представим корень как степень: $\sqrt[8]{m^{-3}} = m^{-\frac{3}{8}}$.

Выражение примет вид: $(m^{-\frac{3}{8}})^{\frac{16}{9}} \cdot (m^{\frac{3}{7}})^{\frac{14}{9}}$.

Перемножим показатели: $m^{-\frac{3}{8} \cdot \frac{16}{9}} \cdot m^{\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{9}} = m^{-\frac{2}{3}} \cdot m^{\frac{2}{3}}$.

Сложим показатели: $m^{-\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} = m^0 = 1$ (при $m \neq 0$).

Ответ: 1.

4. Постройте график функции $y = \left((x-2)^{\frac{1}{5}}\right)^{-5}$

Упростим выражение, задающее функцию: $y = \left((x-2)^{\frac{1}{5}}\right)^{-5} = (x-2)^{\frac{1}{5} \cdot (-5)} = (x-2)^{-1} = \frac{1}{x-2}$.

Область определения исходной функции требует, чтобы основание степени при возведении в отрицательную степень не было равно нулю, т.е. $(x-2)^{\frac{1}{5}} \neq 0$, откуда $x-2 \neq 0$ и $x \neq 2$.

График функции $y = \frac{1}{x-2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вправо по оси Ox.

Построение графика:

1. Базовый график — гипербола $y = \frac{1}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=0$.
2. Сдвигаем этот график на 2 единицы вправо.
3. Вертикальная асимптота становится $x=2$.
4. Горизонтальная асимптота остается $y=0$.
5. График проходит через точки, например, $(3, 1)$, $(1, -1)$, $(4, 0.5)$, $(0, -0.5)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{1}{x}$, сдвинутая на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота: $x=2$. Горизонтальная асимптота: $y=0$.

5. Упростите выражение $\frac{x^{\frac{1}{6}}+4}{x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{6}}} - \frac{x^{\frac{1}{6}}+6}{2x^{\frac{1}{6}}+2} + \frac{x^{\frac{1}{3}}+4x^{\frac{1}{6}}-8}{2x^{\frac{1}{3}}+2x^{\frac{1}{6}}}$

Введем замену: пусть $u = x^{\frac{1}{6}}$, тогда $u^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2 = x^{\frac{1}{3}}$. Выражение (при $x > 0$) принимает вид:

$\frac{u+4}{u^2+u} - \frac{u+6}{2u+2} + \frac{u^2+4u-8}{2u^2+2u}$

Разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю $2u(u+1)$:

$\frac{u+4}{u(u+1)} - \frac{u+6}{2(u+1)} + \frac{u^2+4u-8}{2u(u+1)} = \frac{2(u+4)}{2u(u+1)} - \frac{u(u+6)}{2u(u+1)} + \frac{u^2+4u-8}{2u(u+1)}$

Выполним действия в числителе:

$\frac{2(u+4) - u(u+6) + u^2+4u-8}{2u(u+1)} = \frac{2u+8 - u^2-6u + u^2+4u-8}{2u(u+1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(-u^2+u^2) + (2u-6u+4u) + (8-8)}{2u(u+1)} = \frac{0}{2u(u+1)} = 0$.

Ответ: 0.