Страница 88 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 15

Иррациональные уравнения

Решите уравнение:

1) $10\sqrt{1 - 2x} = 10\sqrt{x^2 + 3x - 13};$

2) $\sqrt{x + 11} = 9 - x;$

3) $(x + 2)\sqrt{x^2 + 2x - 6} = 3x + 6;$

4) $\sqrt{x + 13} - \sqrt{x - 2} = 3;$

5) $\sqrt{x + 3 + 2\sqrt{x + 2}} + \sqrt{x + 3 - 2\sqrt{x + 2}} = 4.$

1) $\sqrt[10]{1 - 2x} = \sqrt[10]{x^2 + 3x - 13}$

Поскольку корни имеют четную степень, уравнение равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны и одно из них (а значит, и оба) неотрицательно.

$\begin{cases} 1 - 2x = x^2 + 3x - 13, \\ 1 - 2x \ge 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$x^2 + 3x - 13 - 1 + 2x = 0$

$x^2 + 5x - 14 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.

Теперь проверим эти корни по второму условию системы ($1 - 2x \ge 0$, то есть $x \le 0.5$):

Для $x_1 = -7$: $1 - 2(-7) = 1 + 14 = 15 \ge 0$. Корень подходит.

Для $x_2 = 2$: $1 - 2(2) = 1 - 4 = -3 < 0$. Корень не подходит (посторонний).

Таким образом, решением уравнения является только $x = -7$.

Ответ: $x = -7$

2) $\sqrt{x + 11} = 9 - x$

Данное уравнение равносильно системе, в которой левая часть возводится в квадрат, а правая часть должна быть неотрицательной.

$\begin{cases} x + 11 = (9 - x)^2, \\ 9 - x \ge 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$x + 11 = 81 - 18x + x^2$

$x^2 - 19x + 70 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = 14$.

Проверим корни по второму условию системы ($9 - x \ge 0$, то есть $x \le 9$):

Для $x_1 = 5$: $9 - 5 = 4 \ge 0$. Корень подходит.

Для $x_2 = 14$: $9 - 14 = -5 < 0$. Корень не подходит (посторонний).

Следовательно, решением уравнения является $x = 5$.

Ответ: $x = 5$

3) $(x + 2)\sqrt{x^2 + 2x - 6} = 3x + 6$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем общий множитель:

$(x + 2)\sqrt{x^2 + 2x - 6} - 3(x + 2) = 0$

$(x + 2)(\sqrt{x^2 + 2x - 6} - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, при условии, что второй множитель существует. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x^2 + 2x - 6 \ge 0$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.

Проверим, входит ли $x = -2$ в ОДЗ: $(-2)^2 + 2(-2) - 6 = 4 - 4 - 6 = -6 < 0$. Так как подкоренное выражение отрицательно, $x = -2$ не является корнем.

Случай 2: $\sqrt{x^2 + 2x - 6} - 3 = 0$.

$\sqrt{x^2 + 2x - 6} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 + 2x - 6 = 9$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

По теореме Виета, корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.

Проверим эти корни по ОДЗ ($x^2 + 2x - 6 \ge 0$):

Для $x_1 = -5$: $(-5)^2 + 2(-5) - 6 = 25 - 10 - 6 = 9 \ge 0$. Корень подходит.

Для $x_2 = 3$: $3^2 + 2(3) - 6 = 9 + 6 - 6 = 9 \ge 0$. Корень подходит.

Ответ: $x = -5; 3$

4) $\sqrt{x + 13} - \sqrt{x - 2} = 3$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} x + 13 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -13 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$.

Уединим один из корней:

$\sqrt{x + 13} = 3 + \sqrt{x - 2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x + 13})^2 = (3 + \sqrt{x - 2})^2$

$x + 13 = 9 + 6\sqrt{x - 2} + (x - 2)$

$x + 13 = x + 7 + 6\sqrt{x - 2}$

$6 = 6\sqrt{x - 2}$

$1 = \sqrt{x - 2}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{x - 2})^2$

$1 = x - 2$

$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x \ge 2$): $3 \ge 2$. Корень подходит.

Ответ: $x = 3$

5) $\sqrt{x + 3 + 2\sqrt{x + 2}} + \sqrt{x + 3 - 2\sqrt{x + 2}} = 4$

ОДЗ: $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Заметим, что подкоренные выражения являются полными квадратами (формулы сложных радикалов). Используем формулу $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Для первого слагаемого: $x + 3 + 2\sqrt{x + 2} = (x + 2) + 2\sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x + 2})^2 + 2\sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x + 2} + 1)^2$.

Для второго слагаемого: $x + 3 - 2\sqrt{x + 2} = (x + 2) - 2\sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x + 2})^2 - 2\sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x + 2} - 1)^2$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\sqrt{(\sqrt{x + 2} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x + 2} - 1)^2} = 4$

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|\sqrt{x + 2} + 1| + |\sqrt{x + 2} - 1| = 4$

Выражение $\sqrt{x + 2} + 1$ всегда положительно при $x \ge -2$, поэтому $|\sqrt{x + 2} + 1| = \sqrt{x + 2} + 1$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{x + 2} + 1 + |\sqrt{x + 2} - 1| = 4$

Рассмотрим два случая для раскрытия второго модуля:

Случай 1: $\sqrt{x + 2} - 1 \ge 0 \implies \sqrt{x + 2} \ge 1 \implies x + 2 \ge 1 \implies x \ge -1$.

В этом случае $|\sqrt{x + 2} - 1| = \sqrt{x + 2} - 1$.

$(\sqrt{x + 2} + 1) + (\sqrt{x + 2} - 1) = 4$

$2\sqrt{x + 2} = 4$

$\sqrt{x + 2} = 2$

$x + 2 = 4 \implies x = 2$.

Корень $x = 2$ удовлетворяет условию $x \ge -1$.

Случай 2: $\sqrt{x + 2} - 1 < 0 \implies \sqrt{x + 2} < 1 \implies x + 2 < 1 \implies x < -1$.

С учетом ОДЗ, этот случай рассматривается для $-2 \le x < -1$.

В этом случае $|\sqrt{x + 2} - 1| = -(\sqrt{x + 2} - 1) = 1 - \sqrt{x + 2}$.

$(\sqrt{x + 2} + 1) + (1 - \sqrt{x + 2}) = 4$

$2 = 4$. Это неверное равенство, следовательно, в этом интервале корней нет.

Единственным решением является $x = 2$.

Ответ: $x = 2$

Самостоятельная работа № 16

Различные приёмы решения

иррациональных уравнений и их систем

Решите уравнение (систему уравнений):

1) $\sqrt{x+7} = 12 - 4\sqrt[4]{x+7};$

2) $3\sqrt{\frac{x+2}{1-x}} - \sqrt{\frac{1-x}{x+2}} = 2;$

3) $2x^2 + 6x + \sqrt{x^2 + 3x + 5} = 11;$

4) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = -3, \\ xy = -64; \end{cases}$

5) $\sqrt[3]{x+2} + \sqrt[3]{7-x} = 3.$

1) $\sqrt{x+7} = 12 - 4\sqrt[4]{x+7}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+7 \ge 0$, откуда $x \ge -7$.

Это уравнение можно свести к квадратному с помощью замены переменной. Заметим, что $\sqrt{x+7} = (\sqrt[4]{x+7})^2$.

Пусть $t = \sqrt[4]{x+7}$. Так как корень четвертой степени является арифметическим, то $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение: $t^2 = 12 - 4t$

Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение: $t^2 + 4t - 12 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -12, а сумма равна -4. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -6$.

Теперь вернемся к условию $t \ge 0$.

• $t_1 = 2$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.
• $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $t=2$: $\sqrt[4]{x+7} = 2$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень: $(\sqrt[4]{x+7})^4 = 2^4$ $x+7 = 16$ $x = 16 - 7$ $x = 9$

Полученный корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge -7$).

Ответ: $x=9$.

2) $3\sqrt{\frac{x+2}{1-x}} - \sqrt{\frac{1-x}{x+2}} = 2$

Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны быть равны нулю. $\frac{x+2}{1-x} > 0$ Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-2, 1)$.

Заметим, что радикалы в уравнении являются взаимно обратными. Сделаем замену: Пусть $t = \sqrt{\frac{x+2}{1-x}}$. Тогда $\sqrt{\frac{1-x}{x+2}} = \frac{1}{t}$. Поскольку $t$ является значением арифметического квадратного корня, $t > 0$.

Уравнение принимает вид: $3t - \frac{1}{t} = 2$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \ne 0$): $3t^2 - 1 = 2t$ $3t^2 - 2t - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$ $t = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 4}{6}$ $t_1 = \frac{2+4}{6} = 1$ $t_2 = \frac{2-4}{6} = -\frac{1}{3}$

Проверим корни по условию $t>0$:

• $t_1 = 1$ удовлетворяет условию.
• $t_2 = -1/3$ не удовлетворяет условию (посторонний корень).

Выполним обратную замену для $t=1$: $\sqrt{\frac{x+2}{1-x}} = 1$

Возведем обе части в квадрат: $\frac{x+2}{1-x} = 1$ $x+2 = 1-x$ $2x = -1$ $x = -0.5$

Полученный корень $x = -0.5$ принадлежит ОДЗ $x \in (-2, 1)$.

Ответ: $x=-0.5$.

3) $2x^2 + 6x + \sqrt{x^2+3x+5} = 11$

Найдем ОДЗ: $x^2+3x+5 \ge 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $x^2+3x+5$ равен $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1>0$), то трехчлен $x^2+3x+5$ всегда положителен. Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Преобразуем левую часть уравнения: $2(x^2 + 3x) + \sqrt{x^2+3x+5} = 11$

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2+3x+5}$. Тогда $t \ge 0$. Возведем замену в квадрат: $t^2 = x^2+3x+5$, откуда $x^2+3x = t^2-5$.

Подставим в уравнение: $2(t^2-5) + t = 11$ $2t^2 - 10 + t = 11$ $2t^2 + t - 21 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 1 + 168 = 169 = 13^2$ $t = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 13}{4}$ $t_1 = \frac{-1+13}{4} = 3$ $t_2 = \frac{-1-13}{4} = -3.5$

Проверим корни по условию $t \ge 0$:

• $t_1 = 3$ удовлетворяет условию.
• $t_2 = -3.5$ не удовлетворяет условию (посторонний корень).

Выполним обратную замену для $t=3$: $\sqrt{x^2+3x+5} = 3$

Возведем обе части в квадрат: $x^2+3x+5 = 9$ $x^2+3x-4 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение -4. Корни: $x_1=1$ и $x_2=-4$.

Ответ: $x_1=1, x_2=-4$.

4) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = -3, \\ xy = -64 \end{cases}$

Введем новые переменные: Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$.

Первое уравнение системы примет вид: $a+b=-3$.

Преобразуем второе уравнение. Извлечем кубический корень из обеих частей: $\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{-64}$ $\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y} = -4$ $ab = -4$

Получим новую систему уравнений: $\begin{cases} a+b = -3 \\ ab = -4 \end{cases}$

По обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (a+b)z + ab = 0$. $z^2 - (-3)z + (-4) = 0$ $z^2 + 3z - 4 = 0$

Корни этого уравнения: $z_1=1$ и $z_2=-4$. Следовательно, у нас есть две пары решений для $(a, b)$: $(1, -4)$ и $(-4, 1)$.

Рассмотрим оба случая: 1. $a=1, b=-4$ $\sqrt[3]{x} = 1 \implies x = 1^3 = 1$ $\sqrt[3]{y} = -4 \implies y = (-4)^3 = -64$ Получаем решение $(1, -64)$.

2. $a=-4, b=1$ $\sqrt[3]{x} = -4 \implies x = (-4)^3 = -64$ $\sqrt[3]{y} = 1 \implies y = 1^3 = 1$ Получаем решение $(-64, 1)$.

Ответ: $(1, -64), (-64, 1)$.

5) $\sqrt[3]{x+2} + \sqrt[3]{7-x} = 3$

ОДЗ для кубических корней - все действительные числа.

Введем новые переменные: Пусть $a = \sqrt[3]{x+2}$ и $b = \sqrt[3]{7-x}$.

Тогда исходное уравнение примет вид: $a+b=3$.

Найдем связь между $a$ и $b$. Возведем обе замены в куб: $a^3 = x+2$ $b^3 = 7-x$

Сложим эти два равенства: $a^3 + b^3 = (x+2) + (7-x) = 9$

Получим систему уравнений: $\begin{cases} a+b = 3 \\ a^3+b^3 = 9 \end{cases}$

Используем формулу суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Подставим известные значения: $9 = 3(a^2-ab+b^2)$ $a^2-ab+b^2 = 3$

Выразим $a^2+b^2$ через $(a+b)^2$: $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$. Подставим в полученное уравнение: $(a+b)^2 - 2ab - ab = 3$ $(a+b)^2 - 3ab = 3$

Так как $a+b=3$: $3^2 - 3ab = 3$ $9 - 3ab = 3$ $3ab = 6$ $ab = 2$

Теперь решаем простую систему: $\begin{cases} a+b=3 \\ ab=2 \end{cases}$

По обратной теореме Виета, $a$ и $b$ - корни уравнения $z^2 - 3z + 2 = 0$. Корни этого уравнения: $z_1=1$ и $z_2=2$. Следовательно, $(a, b)$ может быть $(1, 2)$ или $(2, 1)$.

Рассмотрим оба случая: 1. $a=1, b=2$ $\sqrt[3]{x+2} = 1 \implies x+2 = 1 \implies x = -1$. (Проверка: $\sqrt[3]{7-(-1)} = \sqrt[3]{8} = 2$, что соответствует $b=2$).

2. $a=2, b=1$ $\sqrt[3]{x+2} = 2 \implies x+2 = 8 \implies x = 6$. (Проверка: $\sqrt[3]{7-6} = \sqrt[3]{1} = 1$, что соответствует $b=1$).

Оба значения являются корнями уравнения.

Ответ: $x_1=-1, x_2=6$.