Номер 15, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 15

Иррациональные уравнения

Решите уравнение:

1) $10\sqrt{1 - 2x} = 10\sqrt{x^2 + 3x - 13};$

2) $\sqrt{x + 11} = 9 - x;$

3) $(x + 2)\sqrt{x^2 + 2x - 6} = 3x + 6;$

4) $\sqrt{x + 13} - \sqrt{x - 2} = 3;$

5) $\sqrt{x + 3 + 2\sqrt{x + 2}} + \sqrt{x + 3 - 2\sqrt{x + 2}} = 4.$

1) $\sqrt[10]{1 - 2x} = \sqrt[10]{x^2 + 3x - 13}$

Поскольку корни имеют четную степень, уравнение равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны и одно из них (а значит, и оба) неотрицательно.

$\begin{cases} 1 - 2x = x^2 + 3x - 13, \\ 1 - 2x \ge 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$x^2 + 3x - 13 - 1 + 2x = 0$

$x^2 + 5x - 14 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.

Теперь проверим эти корни по второму условию системы ($1 - 2x \ge 0$, то есть $x \le 0.5$):

Для $x_1 = -7$: $1 - 2(-7) = 1 + 14 = 15 \ge 0$. Корень подходит.

Для $x_2 = 2$: $1 - 2(2) = 1 - 4 = -3 < 0$. Корень не подходит (посторонний).

Таким образом, решением уравнения является только $x = -7$.

Ответ: $x = -7$

2) $\sqrt{x + 11} = 9 - x$

Данное уравнение равносильно системе, в которой левая часть возводится в квадрат, а правая часть должна быть неотрицательной.

$\begin{cases} x + 11 = (9 - x)^2, \\ 9 - x \ge 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$x + 11 = 81 - 18x + x^2$

$x^2 - 19x + 70 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = 14$.

Проверим корни по второму условию системы ($9 - x \ge 0$, то есть $x \le 9$):

Для $x_1 = 5$: $9 - 5 = 4 \ge 0$. Корень подходит.

Для $x_2 = 14$: $9 - 14 = -5 < 0$. Корень не подходит (посторонний).

Следовательно, решением уравнения является $x = 5$.

Ответ: $x = 5$

3) $(x + 2)\sqrt{x^2 + 2x - 6} = 3x + 6$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем общий множитель:

$(x + 2)\sqrt{x^2 + 2x - 6} - 3(x + 2) = 0$

$(x + 2)(\sqrt{x^2 + 2x - 6} - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, при условии, что второй множитель существует. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x^2 + 2x - 6 \ge 0$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.

Проверим, входит ли $x = -2$ в ОДЗ: $(-2)^2 + 2(-2) - 6 = 4 - 4 - 6 = -6 < 0$. Так как подкоренное выражение отрицательно, $x = -2$ не является корнем.

Случай 2: $\sqrt{x^2 + 2x - 6} - 3 = 0$.

$\sqrt{x^2 + 2x - 6} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 + 2x - 6 = 9$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

По теореме Виета, корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.

Проверим эти корни по ОДЗ ($x^2 + 2x - 6 \ge 0$):

Для $x_1 = -5$: $(-5)^2 + 2(-5) - 6 = 25 - 10 - 6 = 9 \ge 0$. Корень подходит.

Для $x_2 = 3$: $3^2 + 2(3) - 6 = 9 + 6 - 6 = 9 \ge 0$. Корень подходит.

Ответ: $x = -5; 3$

4) $\sqrt{x + 13} - \sqrt{x - 2} = 3$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} x + 13 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -13 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$.

Уединим один из корней:

$\sqrt{x + 13} = 3 + \sqrt{x - 2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x + 13})^2 = (3 + \sqrt{x - 2})^2$

$x + 13 = 9 + 6\sqrt{x - 2} + (x - 2)$

$x + 13 = x + 7 + 6\sqrt{x - 2}$

$6 = 6\sqrt{x - 2}$

$1 = \sqrt{x - 2}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{x - 2})^2$

$1 = x - 2$

$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x \ge 2$): $3 \ge 2$. Корень подходит.

Ответ: $x = 3$

5) $\sqrt{x + 3 + 2\sqrt{x + 2}} + \sqrt{x + 3 - 2\sqrt{x + 2}} = 4$

ОДЗ: $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Заметим, что подкоренные выражения являются полными квадратами (формулы сложных радикалов). Используем формулу $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Для первого слагаемого: $x + 3 + 2\sqrt{x + 2} = (x + 2) + 2\sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x + 2})^2 + 2\sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x + 2} + 1)^2$.

Для второго слагаемого: $x + 3 - 2\sqrt{x + 2} = (x + 2) - 2\sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x + 2})^2 - 2\sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x + 2} - 1)^2$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\sqrt{(\sqrt{x + 2} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x + 2} - 1)^2} = 4$

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|\sqrt{x + 2} + 1| + |\sqrt{x + 2} - 1| = 4$

Выражение $\sqrt{x + 2} + 1$ всегда положительно при $x \ge -2$, поэтому $|\sqrt{x + 2} + 1| = \sqrt{x + 2} + 1$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{x + 2} + 1 + |\sqrt{x + 2} - 1| = 4$

Рассмотрим два случая для раскрытия второго модуля:

Случай 1: $\sqrt{x + 2} - 1 \ge 0 \implies \sqrt{x + 2} \ge 1 \implies x + 2 \ge 1 \implies x \ge -1$.

В этом случае $|\sqrt{x + 2} - 1| = \sqrt{x + 2} - 1$.

$(\sqrt{x + 2} + 1) + (\sqrt{x + 2} - 1) = 4$

$2\sqrt{x + 2} = 4$

$\sqrt{x + 2} = 2$

$x + 2 = 4 \implies x = 2$.

Корень $x = 2$ удовлетворяет условию $x \ge -1$.

Случай 2: $\sqrt{x + 2} - 1 < 0 \implies \sqrt{x + 2} < 1 \implies x + 2 < 1 \implies x < -1$.

С учетом ОДЗ, этот случай рассматривается для $-2 \le x < -1$.

В этом случае $|\sqrt{x + 2} - 1| = -(\sqrt{x + 2} - 1) = 1 - \sqrt{x + 2}$.

$(\sqrt{x + 2} + 1) + (1 - \sqrt{x + 2}) = 4$

$2 = 4$. Это неверное равенство, следовательно, в этом интервале корней нет.

Единственным решением является $x = 2$.

Ответ: $x = 2$