Номер 9, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 9

Степенная функция с натуральным показателем

1. Функция задана формулой $f(x) = x^{18}$. Сравните:

1) $f(3,2)$ и $f(3,6)$;

2) $f(-7,4)$ и $f(-8,3)$;

3) $f(-9,5)$ и $f(9,5)$;

4) $f(-4,1)$ и $f(3,8)$.

2. Определите графически количество корней уравнения:

1) $-x^4 = 2x - 1$;

2) $x^7 = 3 - x$.

3. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени $n$ функции $y = x^n$, если:

1) $f(-8) < f(-3)$;

2) $f(-8) < f(3)$;

3) $f(-8) > f(-3)$;

4) $f(-8) > f(3)$?

4. Решите уравнение $3x^6 + 4x^{14} = 7$.

1.

1) f(3,2) и f(3,6)
Функция $f(x) = x^{18}$ имеет чётный показатель степени (18), поэтому она возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Поскольку оба аргумента $3,2$ и $3,6$ принадлежат этому промежутку и $3,2 < 3,6$, то и значения функции будут находиться в том же соотношении: $f(3,2) < f(3,6)$.
Ответ: $f(3,2) < f(3,6)$.

2) f(–7,4) и f(–8,3)
На промежутке $(-\infty; 0]$ функция $f(x) = x^{18}$ убывает. Поскольку оба аргумента $-7,4$ и $-8,3$ принадлежат этому промежутку и $-8,3 < -7,4$, то для значений функции будет выполняться обратное неравенство: $f(-8,3) > f(-7,4)$.
Ответ: $f(-7,4) < f(-8,3)$.

3) f(–9,5) и f(9,5)
Функция $f(x) = x^{18}$ является чётной, так как показатель степени 18 — чётное число. По определению чётной функции, для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Следовательно, $f(-9,5) = f(9,5)$.
Ответ: $f(-9,5) = f(9,5)$.

4) f(–4,1) и f(3,8)
Так как функция $f(x) = x^{18}$ чётная, то $f(-4,1) = (-4,1)^{18} = 4,1^{18}$. Нам нужно сравнить $f(-4,1) = 4,1^{18}$ и $f(3,8) = 3,8^{18}$. Поскольку на промежутке $[0; +\infty)$ функция возрастает и $4,1 > 3,8$, то $4,1^{18} > 3,8^{18}$. Таким образом, $f(-4,1) > f(3,8)$.
Ответ: $f(-4,1) > f(3,8)$.

2.

1) –x⁴ = 2x – 1
Чтобы определить количество корней, построим в одной системе координат графики функций $y = -x^4$ и $y = 2x - 1$. График $y = -x^4$ — это парабола четвёртой степени, симметричная относительно оси OY, с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вниз. График $y = 2x - 1$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(0.5, 0)$. При схематическом построении видно, что прямая пересекает параболу в двух точках. Следовательно, уравнение имеет два корня.
Ответ: 2 корня.

2) x⁷ = 3 – x
Построим в одной системе координат графики функций $y = x^7$ и $y = 3 - x$. График $y = x^7$ — это степенная функция, которая является строго возрастающей на всей своей области определения. График $y = 3 - x$ — это прямая, которая является строго убывающей. Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Проверим, есть ли пересечение: при $x=1$ имеем $1^7 = 1$ и $3-1 = 2$ (график $y=x^7$ ниже), а при $x=2$ имеем $2^7=128$ и $3-2=1$ (график $y=x^7$ выше). Так как обе функции непрерывны, они обязательно пересекутся в одной точке. Следовательно, уравнение имеет один корень.
Ответ: 1 корень.

3.

1) f(–8) < f(–3)
Неравенство $(-8)^n < (-3)^n$. Если $n$ — чётное, то функция $f(x)=x^n$ убывает на $(-\infty; 0]$. Тогда из $-8 < -3$ следовало бы, что $f(-8) > f(-3)$, что противоречит условию. Если $n$ — нечётное, то функция возрастает на всей числовой оси, и из $-8 < -3$ следует $f(-8) < f(-3)$, что соответствует условию. Значит, $n$ — нечётное.
Ответ: нечётным.

2) f(–8) < f(3)
Неравенство $(-8)^n < 3^n$. Если $n$ — чётное, то $(-8)^n = 8^n$, и неравенство становится $8^n < 3^n$, что неверно, так как $8>3$. Если $n$ — нечётное, то $(-8)^n = -8^n$, и неравенство $-8^n < 3^n$ является верным, так как любое отрицательное число меньше любого положительного. Значит, $n$ — нечётное.
Ответ: нечётным.

3) f(–8) > f(–3)
Неравенство $(-8)^n > (-3)^n$. Если $n$ — чётное, то, как было показано в пункте 1, из $-8 < -3$ следует $f(-8) > f(-3)$, что соответствует условию. Если $n$ — нечётное, то из $-8 < -3$ следует $f(-8) < f(-3)$, что противоречит условию. Значит, $n$ — чётное.
Ответ: чётным.

4) f(–8) > f(3)
Неравенство $(-8)^n > 3^n$. Если $n$ — чётное, то оно принимает вид $8^n > 3^n$, что верно для любого натурального $n$, так как $8>3$. Если $n$ — нечётное, то неравенство становится $-8^n > 3^n$, что неверно. Значит, $n$ — чётное.
Ответ: чётным.

4.

Дано уравнение $3x^6 + 4x^{14} = 7$. Проверим, являются ли корнями числа $1$ и $-1$. При $x = 1$: $3(1)^6 + 4(1)^{14} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 7$. Равенство верное, $x=1$ — корень. При $x = -1$: $3(-1)^6 + 4(-1)^{14} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 7$. Равенство верное, $x=-1$ — корень. Рассмотрим функцию $f(x) = 3x^6 + 4x^{14}$. Найдем ее производную: $f'(x) = 18x^5 + 56x^{13} = 2x^5(9 + 28x^8)$. Так как $x^8 \ge 0$, выражение в скобках $9 + 28x^8$ всегда положительно. Поэтому знак производной зависит только от знака $x^5$: - При $x > 0$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ строго возрастает. - При $x < 0$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ строго убывает. Поскольку на промежутке $(0, +\infty)$ функция строго возрастает, она может принимать значение $7$ только один раз. Мы уже нашли этот корень: $x=1$. Аналогично, на промежутке $(-\infty, 0)$ функция строго убывает и также может принимать значение $7$ только один раз. Этот корень $x=-1$. При $x=0$, $f(0)=0 \neq 7$. Других корней у уравнения нет.
Ответ: $x = \pm 1$.