Номер 2, страница 81 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 2

Конечные и бесконечные множества

1. Докажите, что множество точек сторон остроугольного треугольника и множество точек описанной около этого треугольника окружности равномощны.

2. Каких натуральных чисел больше: пятизначных чисел или семизначных чисел, кратных числу 100?

3. Сорок три студента университета изучают английский или французский язык. Известно, что 16 студентов изучают оба эти языка. Докажите, что хотя бы один из языков изучают не меньше 30 студентов.

4. Докажите, что множество натуральных чисел, кратных числу 9, равномощно множеству натуральных чисел, кратных числу 4.

1.

Чтобы доказать, что два множества равномощны, необходимо установить между ними биективное (взаимно-однозначное) соответствие. Пусть $T$ — множество точек сторон остроугольного треугольника, а $\Omega$ — множество точек описанной около него окружности.

Поскольку треугольник является остроугольным, центр $O$ описанной окружности лежит внутри треугольника. Построим отображение $f: T \to \Omega$ следующим образом: для любой точки $P$, принадлежащей одной из сторон треугольника (то есть $P \in T$), проведем луч, исходящий из центра $O$ и проходящий через точку $P$. Этот луч пересечет окружность $\Omega$ в единственной точке $P'$. Положим $f(P) = P'$.

Докажем, что это отображение является биекцией.

1. Инъективность (взаимная однозначность). Предположим, что две разные точки $P_1$ и $P_2$ на сторонах треугольника отображаются в одну и ту же точку на окружности. Это означало бы, что $P_1$ и $P_2$ лежат на одном и том же луче, исходящем из центра $O$. Но поскольку центр $O$ находится внутри треугольника, любой такой луч пересекает периметр треугольника (совокупность его сторон) только в одной точке. Следовательно, $P_1$ должно быть равно $P_2$, что противоречит нашему предположению. Таким образом, разным точкам на сторонах треугольника соответствуют разные точки на окружности.

2. Сюръективность (отображение "на"). Возьмем произвольную точку $Q$ на окружности $\Omega$. Проведем луч из центра $O$ через точку $Q$. Так как $O$ находится внутри треугольника, этот луч обязательно пересечет одну из его сторон в некоторой точке $P$. По нашему построению, точка $P$ как раз и будет отображаться в точку $Q$, то есть $f(P) = Q$. Это означает, что для любой точки на окружности найдется соответствующая ей точка на стороне треугольника.

Поскольку мы построили биективное отображение между множеством точек сторон треугольника и множеством точек описанной окружности, эти два множества равномощны.

Ответ: Множества равномощны, так как между ними можно установить биективное соответствие (центральную проекцию из центра описанной окружности).

2.

Сначала найдем количество пятизначных натуральных чисел. Первое пятизначное число — 10 000, последнее — 99 999. Их общее количество равно:

$99999 - 10000 + 1 = 90000$.

Теперь найдем количество семизначных натуральных чисел, кратных числу 100. Число кратно 100, если оно заканчивается на 00.

Наименьшее семизначное число — 1 000 000. Наибольшее — 9 999 999.

Первое семизначное число, кратное 100, — это 1 000 000. Его можно представить как $10000 \times 100$.

Последнее семизначное число, кратное 100, — это 9 999 900. Его можно представить как $99999 \times 100$.

Таким образом, искомые числа имеют вид $k \times 100$, где $k$ принимает все целые значения от 10 000 до 99 999 включительно. Количество таких значений $k$ равно:

$99999 - 10000 + 1 = 90000$.

Следовательно, количество пятизначных натуральных чисел и количество семизначных натуральных чисел, кратных 100, одинаково.

Ответ: Количество таких чисел одинаково и равно 90 000.

3.

Пусть $A$ — множество студентов, изучающих английский язык, и $B$ — множество студентов, изучающих французский язык.

По условию, общее число студентов, изучающих хотя бы один из этих языков, равно $|A \cup B| = 43$.

Число студентов, изучающих оба языка, равно $|A \cap B| = 16$.

Используем формулу включений-исключений для двух множеств: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.

Подставим известные значения:

$43 = |A| + |B| - 16$

Отсюда найдем суммарное количество "посещений" языковых курсов:

$|A| + |B| = 43 + 16 = 59$.

Нам нужно доказать, что хотя бы один из языков изучают не меньше 30 студентов, то есть $|A| \ge 30$ или $|B| \ge 30$.

Докажем от противного. Предположим, что оба языка изучают меньше 30 студентов:

$|A| < 30$ (то есть $|A| \le 29$) и $|B| < 30$ (то есть $|B| \le 29$).

В этом случае их максимальная возможная сумма была бы:

$|A| + |B| \le 29 + 29 = 58$.

Однако мы ранее вычислили, что $|A| + |B| = 59$. Возникло противоречие ($59 \le 58$), которое является ложным. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно.

Значит, утверждение о том, что оба языка изучают меньше 30 студентов, ложно. Следовательно, хотя бы один из языков изучают не меньше 30 студентов.

Ответ: Утверждение доказано.

4.

Чтобы доказать равномощность двух множеств, необходимо установить между ними биективное соответствие (биекцию).

Пусть $A$ — множество натуральных чисел, кратных числу 9. Элементы этого множества имеют вид $9k$, где $k$ — натуральное число ($k \in \mathbb{N}, k \ge 1$).

$A = \{9, 18, 27, 36, \dots, 9k, \dots\}$

Пусть $B$ — множество натуральных чисел, кратных числу 4. Элементы этого множества имеют вид $4n$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}, n \ge 1$).

$B = \{4, 8, 12, 16, \dots, 4n, \dots\}$

Рассмотрим отображение $f: A \to B$, которое каждому элементу $a \in A$ вида $a=9k$ ставит в соответствие элемент $b \in B$ вида $b=4k$. Таким образом, определим функцию: $f(9k) = 4k$.

Докажем, что это отображение является биекцией.

1. Инъективность. Пусть $a_1 = 9k_1$ и $a_2 = 9k_2$ — два элемента из $A$. Если $f(a_1) = f(a_2)$, то по определению функции $4k_1 = 4k_2$, откуда следует, что $k_1 = k_2$. А если $k_1 = k_2$, то и $9k_1 = 9k_2$, то есть $a_1 = a_2$. Таким образом, разным элементам из $A$ соответствуют разные элементы из $B$.

2. Сюръективность. Возьмем любой элемент $b$ из множества $B$. Он имеет вид $b = 4n$ для некоторого натурального $n$. Мы должны показать, что существует такой элемент $a \in A$, что $f(a) = b$. Искомый элемент $a$ должен иметь вид $9k$. По определению нашей функции, $f(9k) = 4k$. Нам нужно, чтобы $4k = 4n$, что выполняется при $k=n$. Следовательно, для любого элемента $b=4n \in B$ мы можем найти его прообраз $a = 9n \in A$.

Так как отображение $f$ является и инъективным, и сюръективным, оно является биекцией. Это доказывает, что множества $A$ и $B$ равномощны.

Ответ: Множества равномощны, так как между ними можно установить биекцию $f(9k) = 4k$.