Номер 43, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 43

Точки экстремума функции

1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 5}{x - 3}$;

2) $f(x) = x^2 \sqrt{2 - x}$.

2. На рисунке 21 изображён график производной функции $f$, определённой на $R$. Укажите:

1) критические точки функции $f$;

2) точки экстремума функции $f$.

3. Найдите, при каких значениях параметра $a$ функция $f(x) = \sin^2 x - (3a + 2)x$:

1) не имеет критических точек;

2) не имеет точек экстремума.

Рис. 21

1.

1) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 5}{x - 3}$.
1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(x^2 - 5)'(x-3) - (x^2 - 5)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{2x(x-3) - (x^2 - 5) \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{2x^2 - 6x - x^2 + 5}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x + 5}{(x-3)^2}$.
3. Найдем критические точки. Производная равна нулю, когда числитель равен нулю:
$x^2 - 6x + 5 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
Производная не определена в точке $x = 3$, которая не входит в область определения функции.
4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками: $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$, $(3; 5)$, $(5; +\infty)$.
Знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен, поэтому знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x^2 - 6x + 5$. Это парабола с ветвями вверх.
- При $x \in (-\infty; 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (1; 3)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (3; 5)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (5; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума. $x_{max} = 1$.
В точке $x=5$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума. $x_{min} = 5$.
Промежутки возрастания: $(-\infty; 1]$ и $[5; +\infty)$.
Промежутки убывания: $[1; 3)$ и $(3; 5]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[5; +\infty)$, убывает на промежутках $[1; 3)$ и $(3; 5)$; точка максимума $x_{max} = 1$, точка минимума $x_{min} = 5$.

2) Дана функция $f(x) = x^2\sqrt{2-x}$.
1. Область определения функции: $2-x \ge 0 \implies x \le 2$. $D(f) = (-\infty; 2]$.
2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x^2)'\sqrt{2-x} + x^2(\sqrt{2-x})' = 2x\sqrt{2-x} + x^2 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{2-x}} = \frac{2x\sqrt{2-x} \cdot 2\sqrt{2-x} - x^2}{2\sqrt{2-x}} = \frac{4x(2-x) - x^2}{2\sqrt{2-x}} = \frac{8x - 4x^2 - x^2}{2\sqrt{2-x}} = \frac{8x - 5x^2}{2\sqrt{2-x}} = \frac{x(8-5x)}{2\sqrt{2-x}}$.
3. Найдем критические точки. Производная равна нулю, когда числитель равен нулю:
$x(8-5x)=0 \implies x_1 = 0, x_2 = \frac{8}{5} = 1.6$.
Производная не определена при $x=2$ (крайняя точка области определения).
Все три точки $0, 1.6, 2$ входят в область определения.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 1.6)$, $(1.6; 2)$.
Знаменатель $2\sqrt{2-x}$ положителен внутри области определения. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x(8-5x)$. Это парабола с ветвями вниз.
- При $x \in (-\infty; 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0; 1.6)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (1.6; 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
5. В точке $x=0$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. $x_{min} = 0$.
В точке $x=1.6$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума. $x_{max} = 1.6$.
В точке $x=2$ функция убывает, значит это точка локального минимума. $x_{min} = 2$.
Промежутки возрастания: $[0; 1.6]$.
Промежутки убывания: $(-\infty; 0]$ и $[1.6; 2]$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; 1.6]$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1.6; 2]$; точки минимума $x_{min} = 0$, $x_{min} = 2$, точка максимума $x_{max} = 1.6$.

2.

1) Критические точки функции $f$ — это внутренние точки области определения, в которых производная $f'(x)$ равна нулю или не существует.
Из графика видно, что производная $f'(x)$ равна нулю в точках, где график пересекает ось абсцисс: $x=-2, x=3, x=7$.
Производная не существует в точке $x=2$, так как в этой точке у графика вертикальная асимптота. Поскольку по условию функция $f$ определена на $\mathbb{R}$, точка $x=2$ входит в ее область определения и, следовательно, является критической.
Ответ: критические точки функции $f$: $-2, 2, 3, 7$.

2) Точки экстремума — это критические точки, в которых производная меняет свой знак.
- В точке $x=-2$ производная меняет знак с «+» на «−» ($f'(x)>0$ слева, $f'(x)<0$ справа). Следовательно, $x=-2$ — точка максимума.
- В точке $x=2$ производная не меняет знак (слева и справа от $x=2$ значения $f'(x)$ отрицательны). Следовательно, в этой точке нет экстремума.
- В точке $x=3$ производная меняет знак с «−» на «+». Следовательно, $x=3$ — точка минимума.
- В точке $x=7$ производная меняет знак с «+» на «−». Следовательно, $x=7$ — точка максимума.
Ответ: точки экстремума функции $f$: $x_{max}=-2$, $x_{min}=3$, $x_{max}=7$.

3.

Дана функция $f(x) = \sin^2 x - (3a+2)x$.
Найдем ее производную: $f'(x) = (\sin^2 x)' - ((3a+2)x)' = 2\sin x \cos x - (3a+2) = \sin(2x) - (3a+2)$.
Критические точки существуют, если уравнение $f'(x)=0$ имеет решения.
$f'(x) = 0 \implies \sin(2x) = 3a+2$.

1) Функция не имеет критических точек, если уравнение $\sin(2x) = 3a+2$ не имеет решений.
Мы знаем, что область значений функции синус — отрезок $[-1; 1]$.
Следовательно, уравнение не имеет решений, если правая часть не принадлежит этому отрезку:
$3a+2 < -1$ или $3a+2 > 1$.
$3a < -3 \implies a < -1$.
$3a > -1 \implies a > -\frac{1}{3}$.
Ответ: функция не имеет критических точек при $a \in (-\infty; -1) \cup (-\frac{1}{3}; +\infty)$.

2) Функция не имеет точек экстремума, если ее производная $f'(x)$ не меняет знак. Это означает, что $f'(x) \ge 0$ для всех $x$, либо $f'(x) \le 0$ для всех $x$.
1. $f'(x) \ge 0 \implies \sin(2x) - (3a+2) \ge 0 \implies \sin(2x) \ge 3a+2$ для всех $x$.
Это неравенство выполняется, если $3a+2$ не превышает минимального значения $\sin(2x)$, которое равно $-1$.
$-1 \ge 3a+2 \implies -3 \ge 3a \implies a \le -1$.
2. $f'(x) \le 0 \implies \sin(2x) - (3a+2) \le 0 \implies \sin(2x) \le 3a+2$ для всех $x$.
Это неравенство выполняется, если $3a+2$ не меньше максимального значения $\sin(2x)$, которое равно $1$.
$1 \le 3a+2 \implies -1 \le 3a \implies a \ge -\frac{1}{3}$.
Объединяя оба случая, получаем, что функция не имеет точек экстремума, если $a \le -1$ или $a \ge -\frac{1}{3}$.
Ответ: функция не имеет точек экстремума при $a \in (-\infty; -1] \cup [-\frac{1}{3}; +\infty)$.