Номер 1, страница 81 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 1

Множества. Операции над множествами

1. Какие из следующих утверждений верны:

1) ${0} \in {0, 5, 6}$;

2) $5 \subset {0, 5, 6}$;

3) $0 \in {0, 5, 6}$;

4) ${6} \subset {0, 5, 6}$;

5) ${\emptyset} \in {0, 5, 6}$;

6) $\emptyset \subset {0, 5, 6}$?

2. Какие из следующих утверждений верны:

1) ${4} \cap {1, 4} = {4}$;

2) ${4} \cap {1, 4} = {{4}}$;

3) ${4} \cup {1, 4} = {1, 4}$;

4) ${4} \cup {1, 4} = {{4}}$?

3. Даны множества $A = \{x | x^2 - 49 = 0\}$ и $B = \{x | (x+7)(x - 1) = 0\}$. Найдите:

1) $A \cap B$;

2) $A \cup B$;

3) $A \setminus B$;

4) $B \setminus A$.

4. На диаграмме Эйлера (рис. 22) изображены множества A, B и C. Заштрихуйте множество:

1) $(A \cap B) \cup C$;

2) $(A \cap C) \setminus B$;

3) $(A \setminus B) \cup C$.

Рис. 22

1. Какие из следующих утверждений верны

Разберем каждое утверждение:

1) $\{0\} \in \{0, 5, 6\}$ - Неверно. Элементами множества $\{0, 5, 6\}$ являются числа 0, 5 и 6, а не множество $\{0\}$, содержащее число 0.

2) $5 \subset \{0, 5, 6\}$ - Неверно. Символ $\subset$ (является подмножеством) используется для множеств. Число 5 не является множеством. Корректная запись была бы $5 \in \{0, 5, 6\}$ (5 является элементом) или $\{5\} \subset \{0, 5, 6\}$ (множество из одного элемента 5 является подмножеством).

3) $0 \in \{0, 5, 6\}$ - Верно. Число 0 является одним из элементов, перечисленных в множестве.

4) $\{6\} \subset \{0, 5, 6\}$ - Верно. Множество $\{6\}$ является подмножеством множества $\{0, 5, 6\}$, так как каждый элемент первого множества (в данном случае, только число 6) также является элементом второго множества.

5) $\{\emptyset\} \in \{0, 5, 6\}$ - Неверно. Элементами множества $\{0, 5, 6\}$ являются числа 0, 5, 6, а не множество, содержащее пустой символ.

6) $\emptyset \subset \{0, 5, 6\}$ - Верно. Пустое множество ($\emptyset$) по определению является подмножеством любого множества.

Ответ: 3, 4, 6.

2. Какие из следующих утверждений верны

Разберем каждое утверждение:

1) $\{4\} \cap \{1, 4\} = \{4\}$ - Верно. Пересечение ($\cap$) двух множеств — это множество, состоящее из элементов, которые принадлежат обоим исходным множествам. Общим элементом для $\{4\}$ и $\{1, 4\}$ является 4.

2) $\{4\} \cap \{1, 4\} = \{\{4\}\}$ - Неверно. Результатом пересечения является множество $\{4\}$, а не множество, элементом которого является множество $\{4\}$.

3) $\{4\} \cup \{1, 4\} = \{1, 4\}$ - Верно. Объединение ($\cup$) двух множеств — это множество, содержащее все элементы из обоих множеств без дублирования. Объединив элементы, получаем $\{1, 4\}$.

4) $\{4\} \cup \{1, 4\} = \{\{4\}\}$ - Неверно. Результатом объединения является множество $\{1, 4\}$.

Ответ: 1, 3.

3. Даны множества A = $\{x | x^2 - 49 = 0\}$ и B = $\{x | (x + 7)(x - 1) = 0\}$. Найдите:

Сначала определим элементы множеств A и B, решив соответствующие уравнения:

Для множества A: $x^2 - 49 = 0 \Rightarrow (x-7)(x+7) = 0$. Корни уравнения: $x_1=7, x_2=-7$.
Таким образом, $A = \{-7, 7\}$.

Для множества B: $(x+7)(x-1) = 0$. Корни уравнения: $x_1=-7, x_2=1$.
Таким образом, $B = \{-7, 1\}$.

1) $A \cap B$
Пересечение множеств A и B содержит элементы, общие для обоих множеств.
$A \cap B = \{-7, 7\} \cap \{-7, 1\} = \{-7\}$.
Ответ: $\{-7\}$.

2) $A \cup B$
Объединение множеств A и B содержит все элементы из обоих множеств.
$A \cup B = \{-7, 7\} \cup \{-7, 1\} = \{-7, 1, 7\}$.
Ответ: $\{-7, 1, 7\}$.

3) $A \setminus B$
Разность множеств A и B содержит элементы, которые есть в A, но отсутствуют в B.
$A \setminus B = \{-7, 7\} \setminus \{-7, 1\} = \{7\}$.
Ответ: $\{7\}$.

4) $B \setminus A$
Разность множеств B и A содержит элементы, которые есть в B, но отсутствуют в A.
$B \setminus A = \{-7, 1\} \setminus \{-7, 7\} = \{1\}$.
Ответ: $\{1\}$.

4. На диаграмме Эйлера (рис. 22) изображены множества A, B и C. Заштрихуйте множество:

1) $(A \cap B) \cup C$
Это выражение означает объединение множества C с пересечением множеств A и B.
Ответ: Нужно заштриховать область, которая принадлежит множеству C или пересечению множеств A и B. Иными словами, заштриховывается весь круг C, а также та часть, где круги A и B перекрываются.

2) $(A \cap C) \setminus B$
Это выражение означает пересечение множеств A и C, из которого исключены все элементы множества B.
Ответ: Нужно заштриховать область, общую для множеств A и C, но не входящую в множество B (т.е. только ту часть пересечения A и C, которая находится вне круга B).

3) $(A \setminus B) \cup C$
Это выражение означает объединение множества C с разностью множеств A и B.
Ответ: Нужно заштриховать всю область множества C и, в дополнение к ней, ту часть множества A, которая не пересекается с множеством B.