Номер 41, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 41

Уравнение касательной

1. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 3}$ в точке с абсциссой $x_0 = -2$.

2. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 4x + 6$, которая параллельна прямой $y = 4x + 7$.

3. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = -x^2 + 3$, проходящей через точку C (1; 3).

1. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = \frac{x-3}{x^2-3}$ и точка $x_0 = -2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:

$f(x_0) = f(-2) = \frac{-2-3}{(-2)^2-3} = \frac{-5}{4-3} = -5$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x-3)'(x^2-3) - (x-3)(x^2-3)'}{(x^2-3)^2} = \frac{1 \cdot (x^2-3) - (x-3) \cdot 2x}{(x^2-3)^2} = \frac{x^2 - 3 - 2x^2 + 6x}{(x^2-3)^2} = \frac{-x^2 + 6x - 3}{(x^2-3)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$ (это угловой коэффициент касательной):

$f'(-2) = \frac{-(-2)^2 + 6(-2) - 3}{((-2)^2-3)^2} = \frac{-4 - 12 - 3}{(4-3)^2} = \frac{-19}{1^2} = -19$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = -2$, $f(x_0) = -5$ и $f'(x_0) = -19$ в уравнение касательной:

$y = -5 + (-19)(x - (-2))$

$y = -5 - 19(x + 2)$

$y = -5 - 19x - 38$

$y = -19x - 43$.

Ответ: $y = -19x - 43$.

2. Дана функция $f(x) = x^2 - 4x + 6$ и прямая $y = 4x + 7$.

Условие параллельности касательной и прямой $y = 4x + 7$ заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y = 4x + 7$ равен $k = 4$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 - 4x + 6)' = 2x - 4$.

2. Приравняем производную к угловому коэффициенту данной прямой, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = 4$

$2x_0 - 4 = 4$

$2x_0 = 8$

$x_0 = 4$.

3. Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 4$ в исходную функцию:

$y_0 = f(x_0) = f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 6 = 16 - 16 + 6 = 6$.

Точка касания имеет координаты $(4; 6)$.

4. Составим уравнение касательной, используя формулу $y = y_0 + k(x - x_0)$ с известными значениями $x_0 = 4$, $y_0 = 6$ и $k = 4$:

$y = 6 + 4(x - 4)$

$y = 6 + 4x - 16$

$y = 4x - 10$.

Ответ: $y = 4x - 10$.

3. Дана функция $f(x) = -x^2 + 3$ и точка $C(1; 3)$, через которую проходит касательная.

Сначала проверим, лежит ли точка $C$ на графике функции: $f(1) = -1^2 + 3 = 2$. Так как $f(1) = 2 \neq 3$, точка $C$ не является точкой касания.

Пусть $(x_0; y_0)$ — точка касания. Тогда $y_0 = f(x_0) = -x_0^2 + 3$.

Уравнение касательной в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^2 + 3)' = -2x$.

2. Значение производной в точке касания: $f'(x_0) = -2x_0$.

3. Подставим $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в уравнение касательной:

$y = (-x_0^2 + 3) + (-2x_0)(x - x_0)$

$y = -x_0^2 + 3 - 2x_0x + 2x_0^2$

$y = -2x_0x + x_0^2 + 3$.

4. Так как касательная проходит через точку $C(1; 3)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x=1$ и $y=3$:

$3 = -2x_0(1) + x_0^2 + 3$

$3 = -2x_0 + x_0^2 + 3$

$x_0^2 - 2x_0 = 0$

$x_0(x_0 - 2) = 0$.

Отсюда получаем две возможные абсциссы точек касания: $x_0 = 0$ и $x_0 = 2$.

5. Найдем уравнения для каждого случая.

Случай 1: $x_0 = 0$.

Подставим $x_0=0$ в общее уравнение касательной $y = -2x_0x + x_0^2 + 3$:

$y = -2(0)x + 0^2 + 3 \implies y = 3$.

Случай 2: $x_0 = 2$.

Подставим $x_0=2$ в общее уравнение касательной:

$y = -2(2)x + 2^2 + 3 \implies y = -4x + 4 + 3 \implies y = -4x + 7$.

Таким образом, существует две касательные к графику функции, проходящие через точку $C(1; 3)$.

Ответ: $y = 3$ и $y = -4x + 7$.