Номер 45, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 45

Вторая производная.

Понятие выпуклости функции

1. Найдите вторую производную функции:

1) $y = (3x - 4)^5$;

2) $y = (x - 2)^2 \sin x.$

2. Тело массой 4 кг движется по координатной прямой по закону $s (t) = t^3 - 5t + 6$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите силу $F(t) = ma(t)$, действующую на тело через 3 с после начала движения.

3. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

1) $y = x^2 + \sqrt{x + 3}$;

2) $y = 5x^7 - 14x^6 + 3x - 1.$

1. Найдите вторую производную функции:

1) $y = (3x - 4)^5$

Для нахождения второй производной необходимо дважды продифференцировать данную функцию.
Первая производная находится по правилу дифференцирования сложной функции:
$y' = ((3x - 4)^5)' = 5(3x - 4)^{5-1} \cdot (3x - 4)' = 5(3x - 4)^4 \cdot 3 = 15(3x - 4)^4$.
Вторая производная — это производная от первой производной:
$y'' = (15(3x - 4)^4)' = 15 \cdot 4(3x - 4)^{4-1} \cdot (3x - 4)' = 60(3x - 4)^3 \cdot 3 = 180(3x - 4)^3$.
Ответ: $y'' = 180(3x - 4)^3$.

2) $y = (x - 2)^2 \sin x$

Для нахождения первой производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$y' = ((x - 2)^2)' \sin x + (x - 2)^2 (\sin x)' = 2(x - 2)(x - 2)' \sin x + (x - 2)^2 \cos x = 2(x - 2) \sin x + (x - 2)^2 \cos x$.
Для нахождения второй производной дифференцируем первое производное, применяя правило произведения к каждому слагаемому:
$y'' = (2(x - 2) \sin x)' + ((x - 2)^2 \cos x)'$
$y'' = [(2(x-2))' \sin x + 2(x-2)(\sin x)'] + [((x-2)^2)' \cos x + (x-2)^2(\cos x)']$
$y'' = [2 \sin x + 2(x-2)\cos x] + [2(x-2)\cos x + (x-2)^2(-\sin x)]$
Приведем подобные слагаемые:
$y'' = 2\sin x + 4(x-2)\cos x - (x-2)^2\sin x$
Сгруппируем члены с $\sin x$:
$y'' = (2 - (x-2)^2)\sin x + 4(x-2)\cos x$
Раскроем скобки:
$y'' = (2 - (x^2 - 4x + 4))\sin x + (4x - 8)\cos x$
$y'' = (-x^2 + 4x - 2)\sin x + (4x - 8)\cos x$
Ответ: $y'' = (-x^2 + 4x - 2)\sin x + (4x - 8)\cos x$.

2. Тело массой 4 кг движется по координатной прямой по закону s(t) = t³ − 5t + 6 (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите силу F(t) = ma(t), действующую на тело через 3 с после начала движения.

Сила, действующая на тело, определяется вторым законом Ньютона: $F = ma$, где $m$ — масса тела, а $a$ — его ускорение.
Ускорение $a(t)$ является второй производной от перемещения $s(t)$ по времени.
Сначала найдем первую производную от перемещения, которая представляет собой скорость $v(t)$:
$v(t) = s'(t) = (t^3 - 5t + 6)' = 3t^2 - 5$.
Теперь найдем вторую производную, которая является ускорением $a(t)$:
$a(t) = v'(t) = (3t^2 - 5)' = 6t$.
Найдем ускорение в момент времени $t = 3$ с:
$a(3) = 6 \cdot 3 = 18$ м/с².
Теперь, зная массу $m = 4$ кг и ускорение $a(3) = 18$ м/с², вычислим силу:
$F(3) = m \cdot a(3) = 4 \text{ кг} \cdot 18 \text{ м/с²} = 72$ Н.
Ответ: 72 Н.

3. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

1) $y = x^2 + \sqrt{x+3}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+3 \ge 0$, откуда $x \ge -3$. Таким образом, $D(y) = [-3; +\infty)$.
2. Найдем первую и вторую производные функции:
$y' = (x^2 + (x+3)^{1/2})' = 2x + \frac{1}{2}(x+3)^{-1/2} = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x+3}}$.
$y'' = (2x + \frac{1}{2}(x+3)^{-1/2})' = 2 + \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(x+3)^{-3/2} = 2 - \frac{1}{4(x+3)\sqrt{x+3}}$.
3. Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. $y''$ не существует при $x=-3$.
Приравняем $y''$ к нулю:
$2 - \frac{1}{4(x+3)^{3/2}} = 0 \Rightarrow 2 = \frac{1}{4(x+3)^{3/2}} \Rightarrow 8(x+3)^{3/2} = 1 \Rightarrow (x+3)^{3/2} = \frac{1}{8}$.
$x+3 = (\frac{1}{8})^{2/3} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{4} - 3 = -\frac{11}{4}$.
4. Исследуем знак $y''$ на интервалах, на которые область определения разбивается точкой $x = -11/4$: это $[-3; -11/4)$ и $(-11/4; +\infty)$.
- На интервале $[-3; -11/4)$: возьмем $x = -2.8$. $y''(-2.8) = 2 - \frac{1}{4(0.2)^{3/2}} < 0$. Функция выпукла вверх (вогнута).
- На интервале $(-11/4; +\infty)$: возьмем $x = 1$. $y''(1) = 2 - \frac{1}{4(4)^{3/2}} = 2 - \frac{1}{32} > 0$. Функция выпукла вниз.
5. В точке $x = -11/4$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. Найдем ее ординату:
$y(-\frac{11}{4}) = (-\frac{11}{4})^2 + \sqrt{-\frac{11}{4}+3} = \frac{121}{16} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{121}{16} + \frac{1}{2} = \frac{129}{16}$.
Ответ: Функция выпукла вверх на промежутке $[-3, -11/4]$, выпукла вниз на промежутке $[-11/4, +\infty)$. Точка перегиба: $(-\frac{11}{4}, \frac{129}{16})$.

2) $y = 5x^7 - 14x^6 + 3x - 1$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем первую и вторую производные:
$y' = 35x^6 - 84x^5 + 3$.
$y'' = 210x^5 - 420x^4$.
3. Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:
$210x^5 - 420x^4 = 0 \Rightarrow 210x^4(x-2) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
4. Исследуем знак $y''$ на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$: возьмем $x=-1$. $y''(-1) = 210(-1)^4(-1-2) = -630 < 0$. Функция выпукла вверх.
- На интервале $(0; 2)$: возьмем $x=1$. $y''(1) = 210(1)^4(1-2) = -210 < 0$. Функция выпукла вверх.
- На интервале $(2; +\infty)$: возьмем $x=3$. $y''(3) = 210(3)^4(3-2) > 0$. Функция выпукла вниз.
5. Вторая производная меняет знак только в точке $x=2$. Следовательно, это точка перегиба. В точке $x=0$ знак не меняется, поэтому она не является точкой перегиба.
Найдем ординату точки перегиба:
$y(2) = 5(2)^7 - 14(2)^6 + 3(2) - 1 = 5 \cdot 128 - 14 \cdot 64 + 6 - 1 = 640 - 896 + 5 = -251$.
Ответ: Функция выпукла вверх на промежутке $(-\infty, 2]$, выпукла вниз на промежутке $[2, +\infty)$. Точка перегиба: $(2, -251)$.