Номер 3, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 3

Высказывания и операции над ними

1. Даны два высказывания: $A = \left\{ \frac{9}{16} = \frac{3}{4} \right\}$, $B = \{12 > 10\}$.

Определите, истинным или ложным является высказывание:

1) $\overline{B} \Leftrightarrow A$; 2) $A \vee B$; 3) $\overline{A} \wedge B$; 4) $\overline{A} \Rightarrow \overline{B}$.

2. Пусть $f$ — функция истинности, $A$ и $B$ — некоторые высказывания. Известно, что $f(A) = 1$ и $f(\overline{B} \Leftrightarrow \overline{A}) = 1$.

Найдите $f(B)$.

3. Составьте таблицу истинности для логического выражения $(\overline{B} \Leftrightarrow \overline{C}) \vee A$.

1.

Сначала определим истинность исходных высказываний A и B. Истинному высказыванию присвоим значение 1, а ложному — 0.

Высказывание A: $A = \{\frac{9}{16} = \frac{3}{4}\}$.
Чтобы проверить равенство, приведем дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателю 16: $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 4}{4 \times 4} = \frac{12}{16}$.
Поскольку $\frac{9}{16} \neq \frac{12}{16}$, высказывание A является ложным. Таким образом, $A = 0$.

Высказывание B: $B = \{12 > 10\}$.
Это неравенство верно, следовательно, высказывание B является истинным. Таким образом, $B = 1$.

Теперь определим истинность их отрицаний:
$\overline{A} = \neg A = \neg 0 = 1$ (истина).
$\overline{B} = \neg B = \neg 1 = 0$ (ложь).

Теперь определим истинность заданных выражений.

1) $\overline{B} \Leftrightarrow A$
Подставляем значения: $0 \Leftrightarrow 0$.
Операция эквиваленции (равнозначности) истинна, когда оба операнда имеют одинаковое значение истинности. В данном случае оба операнда ложны (0), поэтому выражение истинно.
Ответ: Истинно.

2) $A \lor B$
Подставляем значения: $0 \lor 1$.
Операция дизъюнкции ("логическое ИЛИ") истинна, если хотя бы один из операндов истинен. В данном случае B истинно (1), поэтому выражение истинно.
Ответ: Истинно.

3) $\overline{A} \land B$
Подставляем значения: $1 \land 1$.
Операция конъюнкции ("логическое И") истинна, только когда оба операнда истинны. В данном случае оба операнда истинны (1), поэтому выражение истинно.
Ответ: Истинно.

4) $\overline{A} \Rightarrow \overline{B}$
Подставляем значения: $1 \Rightarrow 0$.
Операция импликации ("логическое следование") ложна только в одном случае: когда из истины (1) следует ложь (0). Это как раз наш случай.
Ответ: Ложно.

2.

Пусть $f(X)$ — функция истинности, которая равна 1, если высказывание X истинно, и 0, если X ложно. Нам дано:

1. $f(A) = 1$, что означает, что высказывание A истинно ($A=1$).

2. $f(\overline{B} \Leftrightarrow \overline{A}) = 1$, что означает, что высказывание $\overline{B} \Leftrightarrow \overline{A}$ истинно.

Из первого условия мы знаем, что $A=1$. Следовательно, отрицание A, $\overline{A}$, будет ложным: $\overline{A}=0$.

Теперь подставим значение $\overline{A}$ во второе истинное высказывание:
$\overline{B} \Leftrightarrow 0$ является истинным выражением.

Операция эквиваленции ($\Leftrightarrow$) истинна тогда и только тогда, когда значения истинности ее операндов совпадают. Чтобы выражение $\overline{B} \Leftrightarrow 0$ было истинным, значение $\overline{B}$ должно быть равно 0.

Итак, мы получили, что $\overline{B} = 0$ (ложь).
Если отрицание высказывания B ложно, то само высказывание B должно быть истинным, то есть $B=1$.

Таким образом, значение функции истинности для B равно 1.
Ответ: $f(B) = 1$.

3.

Для составления таблицы истинности логического выражения $(B \Leftrightarrow \overline{C}) \lor A$ необходимо перебрать все возможные комбинации истинности для высказываний A, B и C. Всего таких комбинаций $2^3 = 8$.

Таблица истинности выглядит следующим образом (где 1 — истина, 0 — ложь):

Ответ: Таблица истинности представлена выше. Значения в последнем столбце: 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1.